4角形の対辺同士の内積

by nomura · 2024年10月10日

4角形の対辺同士の内積
4角形ABCDの辺の長さを順にabcdとし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とする。

このとき、

(1)

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \] \[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \]

(2)

\[ \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \]

(1)

\begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} & =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\right)\\ & =\left\{ \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-p^{2}\right)-a^{2}+\frac{1}{2}\left(a^{2}+d^{2}-q^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \end{align*} 同様に
\[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \]

(2)

\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*}