4角形の対角線と面積の関係
4角形の対角線と面積の関係
反時計まわりに4角形\(ABCD\)がある。

このとき4角形\(ABCD\)の面積\(S\)は
\[ S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right) \] となる。
反時計まわりに4角形\(ABCD\)がある。
このとき4角形\(ABCD\)の面積\(S\)は
\[ S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right) \] となる。
\begin{align*}
S & =\left|\triangle ABC\right|+\left|\triangle ACD\right|\\
& =\triangle CAB+\triangle DAC\\
& =\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{AC}\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DA}\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\end{align*}
時計回りに4角形\(ABCD\)があっても符号は変わらない。
ページ情報
タイトル | 4角形の対角線と面積の関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/ly4zxh53/ |
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ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]
オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]
3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]