正弦定理
正弦定理
3角形ABCがあり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として外接円の半径を\(R\)とする
このとき、
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \] が成り立つ。
3角形ABCがあり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として外接円の半径を\(R\)とする
このとき、
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \] が成り立つ。
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)について証明する。
3角形\(ABC\)の外接円の中心を\(J\)する。
直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき円周角の定理より、\(\angle CAB=\angle CA'B\)となり、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となるので\(\angle BCA'=90^{\circ}\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\angle CA'B\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。
このとき、\(BC=2R=a\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{\sin90^{\circ}}=2R\)となる。
直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき4角形\(ABA'C\)は外接円に内接しているので対角の和は\(180^{\circ}\)になり\(\angle CAB+\angle BA'C=180^{\circ}\)となる。
また、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\pi-\angle BA'C\right)=\sin\left(\angle BA'C\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。
同様に\(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2R\)も成り立つので題意は成り立つ。
3角形\(ABC\)の外接円の中心を\(J\)する。
\(0^{\circ}<A<90^{\circ}\)のとき
直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき円周角の定理より、\(\angle CAB=\angle CA'B\)となり、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となるので\(\angle BCA'=90^{\circ}\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\angle CA'B\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。
\(A=90^{\circ}\)のとき
このとき、\(BC=2R=a\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{\sin90^{\circ}}=2R\)となる。
\(90^{\circ}<A<180^{\circ}\)のとき
直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき4角形\(ABA'C\)は外接円に内接しているので対角の和は\(180^{\circ}\)になり\(\angle CAB+\angle BA'C=180^{\circ}\)となる。
また、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\pi-\angle BA'C\right)=\sin\left(\angle BA'C\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。
-
これらより、\(0^{\circ}<A<180^{\circ}\)について、\(\frac{a}{\sin A}=2R\)が成り立つ。同様に\(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2R\)も成り立つので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 正弦定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/amvh4d8w/ |
| SNSボタン |
3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]
3角形の垂心と円に内接する4角形
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
ブラーマグプタの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}
\]