分母に3次式の総和
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(4k\right)^{3}-4k}=?\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}\]
フィボナッチ数の負整数での値
\[F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[\left(\begin{array}{cc}F_{n+1} & F_{n}\\F_{n} & F_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の総和
\[\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \]
フィボナッチ数列と2項係数
\[F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}\]
フィボナッチ数列の定義
\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\]
銅像をいつ倒す？
銅像を90度左右に回転させるだけで全員が部屋に入ったことをどうすれば確認ができるか？
対数同士の積の積分
\[\int_{0}^{1}\log\left(x\right)\log\left(1+x\right)dx=?\]
指数関数を分母と分子に含む対数の定積分
\[\int_{0}^{\infty}\log\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)dx=?\]
3角形上での3角関数
\[\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\]