連結であることと離散位相空間への連続写像による同値
連結であることと離散位相空間への連続写像による同値
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結であることと、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)から離散位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow\left\{ a,b\right\} \)は定値写像であることは同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結であることと、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)から離散位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow\left\{ a,b\right\} \)は定値写像であることは同値である。
(1)
密着位相\(\left(\left\{ x,y\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ x,y\right\} \right\} \right)\)は連結であり、離散位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow\left\{ a,b\right\} \)は定値写像\(f\left(\left\{ x,y\right\} \right)=\left\{ a\right\} \lor f\left(\left\{ x,y\right\} \right)=\left\{ b\right\} \)となる。例えば\(f\left(\left\{ x\right\} \right)=\left\{ a\right\} ,f\left(\left\{ y\right\} \right)=\left\{ b\right\} \)とすると開集合\(\left\{ a\right\} \)の逆像は\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\left\{ x\right\} \)となり\(\left\{ x\right\} \)は開集合とならないので\(f\)が連続写像とならない。
(2)
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)は連結であり、離散位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow\left\{ a,b\right\} \)は\(f\left(\mathbb{R}\right)=\left\{ a\right\} \lor f\left(\mathbb{R}\right)=\left\{ b\right\} \)となる。\(\Rightarrow\)
\(f\)は連続で\(\left\{ a,b\right\} \)は離散位相なので\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right),f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\in\mathcal{O}\)となる。また、写像\(f\)は
\begin{align*} X & =f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cup f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) \end{align*} \begin{align*} \emptyset & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cap f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) \end{align*} を満たす。
これらより、\(X\)は連結なので\(\left(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\emptyset\land f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=X\right)\lor\left(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=X\land f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\emptyset\right)\)となる。
従って\(f\left(X\right)=\left\{ a\right\} \lor f\left(X\right)=\left\{ b\right\} \)となり定値写像となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
対偶で示す。\(X\)が連結でないとき、\(X\)の空でない開集合\(O_{1},O_{2}\)が存在し、
\[ X=O_{1}\cup O_{2},\emptyset=O_{1}\cap O_{2} \] となる。
ここで写像\(f\)を
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} a & x\in O_{1}\\ b & x\in O_{2} \end{cases} \] とすると、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right) & =O_{1}\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) & =O_{2}\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right) & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cup f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\\ & =O_{1}\cup O_{2}\\ & =X\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\emptyset\right) & =\emptyset\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} となるので連続であるが定値写像ではない。
従って\(X\)が連結でないならば定値写像ではないではないので、対偶をとると\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立っているので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 連結であることと離散位相空間への連続写像による同値 |
URL | https://www.nomuramath.com/apzrdb0f/ |
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弧状連結と連結の関係
弧状連結ならば連結。
弧状連結の定義
位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
連結成分・弧状連結成分は最大の連結部分集合・弧状連結部分集合