上限位相・下限位相は通常位相より強い
上限位相・下限位相は通常位相より強い
実数\(\mathbb{R}\)の上限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は通常位相\(\mathcal{O}\)より強い、すなわち\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。
同様に、実数\(\mathbb{R}\)の下限位相\(\mathcal{O}_{l}\)は通常位相\(\mathcal{O}\)より強い、すなわち\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{l}\)となる。
実数\(\mathbb{R}\)の上限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は通常位相\(\mathcal{O}\)より強い、すなわち\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。
同様に、実数\(\mathbb{R}\)の下限位相\(\mathcal{O}_{l}\)は通常位相\(\mathcal{O}\)より強い、すなわち\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{l}\)となる。
上限位相
通常位相\(\mathcal{O}\)の開基は開区間の全体である。これより、\(\mathcal{O}\)の開基\(\mathcal{B}\)が\(\mathcal{O}_{u}\)の開基\(\mathcal{B}_{u}\)の和集合で表せれば\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。
任意の\(a,b\in\mathbb{R},a<b\)に対し、\(\left(a,b-\frac{1}{n}\right]\)を\(n\in\mathbb{N},a<b-\frac{1}{n}\)を満たす\(n\)について和集合をとると、
\[ \left(a,b\right)=\bigcup_{n>\frac{1}{b-a}}\left(a,b-\frac{1}{n}\right] \] となるので、\(\mathcal{B}\subseteq\mathcal{B}_{u}\)となるので\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。
下限位相
上限位相と同様にすれば\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{l}\)となる。ページ情報
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上限位相空間・下限位相空間の分離公理(T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
上限位相と下限位相の定義
\[
\mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\}
\]
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相と下限位相より強ければ離散位相