上限位相空間・下限位相空間は非連結
上限位相空間・下限位相空間は非連結
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。
同様に下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は非連結である。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。
同様に下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は非連結である。
(0)
任意の\(a,b\in\mathbb{R},a<b\)に対し、\(\left(a,b\right]\)は空集合でも全体集合でもなく、閉集合かつ開集合である。故に上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。
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下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)についても同様にすればいい。(0)-2
\(\left(-\infty,0\right],\left(0,\infty\right)\)は空集合ではなく開集合であり、\(\mathbb{R}=\left(-\infty,0\right]\cup\left(0,\infty\right),\emptyset=\left(-\infty,0\right]\cap\left(0,\infty\right)\)となる。従って上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。
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タイトル | 上限位相空間・下限位相空間は非連結 |
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上限位相と下限位相の定義
\[
\mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\}
\]
上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相・下限位相は通常位相より強い
\[
\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}
\]