ヤコビアン予想の反例
等差数列・等比数列・無限等比級数の和
\[\sum_{k=1}^{n}\left(a_{1}r^{k-1}\right)=a_{1}\frac{1-r^{n}}{1-r}\]
軌跡・領域での順像法と逆像法
区分的に連続と区分的に滑らかの定義
畳み込みの性質
\[\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)\]
畳み込みの定義
\[\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt\]
母関数の逆演算
\[a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0}\]
有理数全体の集合
\[f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} }\]
凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。
凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\[\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)\]
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)\end{cases}\]