母関数の逆演算
母関数の逆演算
\[ G\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
\[ G_{E}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
\[ G_{P}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(1)通常型母関数
通常型母関数を\[ G\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(2)指数型母関数
指数型母関数を\[ G_{E}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(3)ポアソン母関数
ポアソン母関数を\[ G_{P}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(1)
\begin{align*} \frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} & =\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =a_{k}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =a_{k}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}k!\delta_{n,k}\\ & =a_{k} \end{align*} より題意は成り立つ。(2)
\begin{align*} \left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} & =\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}k!\delta_{n,k}\\ & =a_{n} \end{align*} より題意は成り立つ。(3)
\begin{align*} \left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} & =\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!}\right]_{z=0}\\ & =n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\delta_{n,k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\delta_{n,k}\\ & =a_{n} \end{align*} より題意は成り立つ。ページ情報
タイトル | 母関数の逆演算 |
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逆2乗の別表示
\[
\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
有理数全体の集合
\[
f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} }
\]
真分数・仮分数・帯分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{3}{3},\frac{4}{3}
\]