凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\(X\)を区間(ベクトル空間の凸集合)として、関数\(f\)を実数値関数とする。
\(X\)を区間(ベクトル空間の凸集合)として、関数\(f\)を実数値関数とする。
(1)凸関数
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \](2)狭義凸関数
\[ \forall x_{1}\ne x_{2}\in X,\forall t\in\left(0,1\right),f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \](3)準凸関数
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq\max\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right) \](4)凹関数
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\geq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \](5)狭義凹関数
\[ \forall x_{1}\ne x_{2}\in X,\forall t\in\left(0,1\right),f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)>tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \](6)準凹関数
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\geq\min\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right) \]別定義
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に下側または同じ値のとき凸関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に上側にあるとき狭義凸関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に上側または同じ値のとき凹関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に下側にあるとき狭義凹関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に下側または同じ値のとき凸関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に上側にあるとき狭義凸関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に上側または同じ値のとき凹関数という。
関数\(f\left(x\right)\)が任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に下側にあるとき狭義凹関数という。
この定義の凸関数・凹関数の意味は、\(f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\)が\(\left(t=0,f\left(x_{2}\right)\right),\left(t=1,f\left(x_{1}\right)\right)\)を通る直線は\(\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right)t+f\left(x_{2}\right)=tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)\)なので、任意の\(x_{1},x_{2}\)に対して\(x_{1}\leq x\leq x_{2}\)を満たす\(x\)が\(x=tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\)として関数\(f\left(x\right)\)がそれより常に上側か下側かということである。
凸関数を関数が下に凸・上に凹という。
凹関数を関数が下に凹・上に凸という。
関数\(f\)が凸関数であるとき\(-f\)は凹関数となる。
関数\(f\)が狭義凸関数であるとき\(-f\)は狭義凹関数となる。
関数\(f\)が準凸関数であるとき\(-f\)は準凹関数となる。
関数\(f\)が凹関数であるとき\(-f\)は凸関数となる。
関数\(f\)が狭義凹関数であるとき\(-f\)は狭義凸関数となる。
関数\(f\)が準関数であるとき\(-f\)は準凸関数となる。
任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の上側または同値であるとき凸関数となる。
任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の下側または同値であるとき凹関数となる。
\[ \begin{cases} \text{狭義凸関数}\Rightarrow\text{凸関数}\Rightarrow\text{準凸関数}\\ \text{狭義凹関数}\Rightarrow\text{凹関数}\Rightarrow\text{準凹関数} \end{cases} \] の関係がある。
逆向きは一般的に成り立たない。
何故なら、定義より狭義凸関数\(\Rightarrow\)凸関数は明らかで、凸関数\(\Rightarrow\)準凸関数も明らかである。
同様に狭義凹関数\(\Rightarrow\)凹関数\(\Rightarrow\)準凹関数も定義より明らかである。
逆向きは一般的に成り立たない反例は\(f\left(x\right)=x\)は凸関数でも凹関数でもあるが、狭義凸関数でも狭義凹関数でもない。
また、\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でも準凹関数でもあるが、凸関数でも凹関数でもない。
ここで\(H_{0}\left(x\right)\)はヘヴィサイト関数である。
凸関数を関数が下に凸・上に凹という。
凹関数を関数が下に凹・上に凸という。
関数\(f\)が凸関数であるとき\(-f\)は凹関数となる。
関数\(f\)が狭義凸関数であるとき\(-f\)は狭義凹関数となる。
関数\(f\)が準凸関数であるとき\(-f\)は準凹関数となる。
関数\(f\)が凹関数であるとき\(-f\)は凸関数となる。
関数\(f\)が狭義凹関数であるとき\(-f\)は狭義凸関数となる。
関数\(f\)が準関数であるとき\(-f\)は準凸関数となる。
任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の上側または同値であるとき凸関数となる。
任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の下側または同値であるとき凹関数となる。
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凸関数・狭義凸関数・準凸関数と凹関数・狭義凹関数・準凹関数の間には、\[ \begin{cases} \text{狭義凸関数}\Rightarrow\text{凸関数}\Rightarrow\text{準凸関数}\\ \text{狭義凹関数}\Rightarrow\text{凹関数}\Rightarrow\text{準凹関数} \end{cases} \] の関係がある。
逆向きは一般的に成り立たない。
何故なら、定義より狭義凸関数\(\Rightarrow\)凸関数は明らかで、凸関数\(\Rightarrow\)準凸関数も明らかである。
同様に狭義凹関数\(\Rightarrow\)凹関数\(\Rightarrow\)準凹関数も定義より明らかである。
逆向きは一般的に成り立たない反例は\(f\left(x\right)=x\)は凸関数でも凹関数でもあるが、狭義凸関数でも狭義凹関数でもない。
また、\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でも準凹関数でもあるが、凸関数でも凹関数でもない。
ここで\(H_{0}\left(x\right)\)はヘヴィサイト関数である。
凸関数であるが狭義凸関数でない例は\(f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=-x\)である。
凹関数であるが狭義凹関数でない例は\(f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=-x\)である。
\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でもあり準凹関数でもあるが、凸関数でも狭義凸関数でも凹関数でも狭義凹関数でもない。
\(f\left(x\right)=-H_{0}\left(x\right)-H_{0}\left(1-x\right)+1\)は準凸関数であるが凸関数でも狭義凸関数でもない。
\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)+H_{0}\left(1-x\right)-1\)は準凹関数であるが凹関数でも狭義凹関数でもない。
凹関数であるが狭義凹関数でない例は\(f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=-x\)である。
\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でもあり準凹関数でもあるが、凸関数でも狭義凸関数でも凹関数でも狭義凹関数でもない。
\(f\left(x\right)=-H_{0}\left(x\right)-H_{0}\left(1-x\right)+1\)は準凸関数であるが凸関数でも狭義凸関数でもない。
\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)+H_{0}\left(1-x\right)-1\)は準凹関数であるが凹関数でも狭義凹関数でもない。
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| タイトル | 凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義 |
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max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[
\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\
x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\
x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)
\end{cases}
\]
単位分数とエジプト式分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}
\]