有理数全体の集合
有理数全体の集合
\(\left\lfloor x\right\rfloor \)を床関数、\(\left\{ x\right\} \)を分数部分(少数部分)として、
\[ f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} } \] とおくと、有理数全体の集合は
\[ \mathbb{Q}=\left\{ 0,\pm f\left(0\right),\pm f^{2\circ}\left(0\right),\pm f^{3\circ}\left(0\right),\cdots\right\} \] で表される。
\(\left\lfloor x\right\rfloor \)を床関数、\(\left\{ x\right\} \)を分数部分(少数部分)として、
\[ f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} } \] とおくと、有理数全体の集合は
\[ \mathbb{Q}=\left\{ 0,\pm f\left(0\right),\pm f^{2\circ}\left(0\right),\pm f^{3\circ}\left(0\right),\cdots\right\} \] で表される。
\begin{align*}
f\left(x\right) & =\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} }\\
& =\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)}\\
& =\frac{1}{2\left\lfloor x\right\rfloor +1-x}
\end{align*}
となるので、
\[ f\left(0\right)=1 \] \begin{align*} f^{2\circ}\left(0\right) & =f\left(f\left(0\right)\right)\\ & =f\left(1\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor 1\right\rfloor +1-1}\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} \begin{align*} f^{3\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{2\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor \frac{1}{2}\right\rfloor +1-\frac{1}{2}}\\ & =2 \end{align*} \begin{align*} f^{4\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{3\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(2\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor 2\right\rfloor +1-2}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*} \begin{align*} f^{5\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{4\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(\frac{1}{3}\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor \frac{1}{3}\right\rfloor +1-\frac{1}{3}}\\ & =\frac{3}{2} \end{align*} となっていき、更に計算をすると、
\[ \left(f^{i\circ}\left(0\right)\right)_{i\in\mathbb{N}_{0}}=\left(0,1,\frac{1}{2},2,\frac{1}{3},\frac{3}{2},\frac{2}{3},3,\frac{1}{4},\frac{4}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{2},\frac{2}{5},\frac{5}{3},\frac{3}{4},4,\frac{1}{5},\frac{5}{4},\frac{4}{7},\frac{7}{3},\frac{3}{8},\frac{8}{5},\frac{5}{7},\frac{7}{2},\frac{2}{7},\frac{7}{5},\frac{5}{8},\frac{8}{3},\frac{3}{7},\frac{7}{4},\frac{4}{5},5\right) \] となる。
\[ f\left(0\right)=1 \] \begin{align*} f^{2\circ}\left(0\right) & =f\left(f\left(0\right)\right)\\ & =f\left(1\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor 1\right\rfloor +1-1}\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} \begin{align*} f^{3\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{2\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor \frac{1}{2}\right\rfloor +1-\frac{1}{2}}\\ & =2 \end{align*} \begin{align*} f^{4\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{3\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(2\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor 2\right\rfloor +1-2}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*} \begin{align*} f^{5\circ}\left(0\right) & =f\left(f^{4\circ}\left(0\right)\right)\\ & =f\left(\frac{1}{3}\right)\\ & =\frac{1}{2\left\lfloor \frac{1}{3}\right\rfloor +1-\frac{1}{3}}\\ & =\frac{3}{2} \end{align*} となっていき、更に計算をすると、
\[ \left(f^{i\circ}\left(0\right)\right)_{i\in\mathbb{N}_{0}}=\left(0,1,\frac{1}{2},2,\frac{1}{3},\frac{3}{2},\frac{2}{3},3,\frac{1}{4},\frac{4}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{2},\frac{2}{5},\frac{5}{3},\frac{3}{4},4,\frac{1}{5},\frac{5}{4},\frac{4}{7},\frac{7}{3},\frac{3}{8},\frac{8}{5},\frac{5}{7},\frac{7}{2},\frac{2}{7},\frac{7}{5},\frac{5}{8},\frac{8}{3},\frac{3}{7},\frac{7}{4},\frac{4}{5},5\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | 有理数全体の集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pv1sat27/ |
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母関数の逆演算
\[
a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0}
\]
逆2乗の別表示
\[
\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\]
畳み込みの定義
\[
\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]