指数型不等式
指数型不等式
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \] 等号は\(x=0\)のときである。
これは\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、
\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \] \(0\leq x\)または\(n\)が奇数のとき、
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \] と同じである。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \] 等号は\(x=0\)のときである。
これは\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、
\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \] \(0\leq x\)または\(n\)が奇数のとき、
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \] と同じである。
(0)
\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}-\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\sgn\left(x^{n+1}\right)\left(e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\right) \end{align*} とおく。\(0\leq f_{n}\left(x\right)\)となることを\(n\)についての帰納法により証明する。
\(n=0\)のとき
\begin{align*} f_{0}\left(x\right) & =\sgn\left(x\right)\left(e^{x}-1\right)\\ & \geq0 \end{align*}\(n=k\)のとき\(0\leq f_{k}\left(x\right)\)が成り立つと仮定
\begin{align*} f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+2}\right)x^{k+1}\left(e^{x}-\sum_{j=0}^{k+1}\frac{x^{j}}{k!}\right)+\sgn\left(x^{k+2}\right)\left(e^{x}-\sum_{j=0}^{k}\frac{x^{j}}{k!}\right)\\ & =\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+1}\right)x^{k}\sgn\left(x^{k+1}\right)f_{k}\left(x\right)+\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right)\\ & =\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right)\left(1+\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+1}\right)x^{k}\sgn\left(x^{k}\right)\right)\\ & =\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right) \end{align*} となるので\(0\leq x\)のとき\(f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right)\leq0\)、\(x\leq0\)のとき\(0\leq f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right)\)となる。これより、\(f_{k+1}\left(x\right)\)の最小値は\(x=0\)のとき\(f_{k+1}\left(0\right)=0\)となるので\(0\leq f_{k+1}\left(x\right)\)となる。
故に\(0\leq f_{n}\left(x\right)\)が成り立つので、
\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \] となる。
(0)-2
\(0\leq x\)のとき
\begin{align*} e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right|\\ & \geq0 \end{align*} となるので\(0\leq x\)のとき、\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \] が成り立つ。
等号は\(x=0\)のときである。
\(x\leq0\)のとき、
\[ f_{n}\left(x\right)=e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \] とおく。\begin{align*} f_{0}\left(x\right) & =e^{x}-\sum_{k=0}^{0}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x}-1\\ & \leq0 \end{align*} より、\(f_{0}\left(x\right)\leq0\)となる。
また、\(n\)の値によらず、\(f_{n}\left(0\right)=0\)となる。
ある\(j\)で\(0\leq f_{j}\left(x\right)\)ならば、
\begin{align*} f_{j+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =f_{j}\left(x\right)\\ & \geq0 \end{align*} となるので、\(f_{j+1}\left(0\right)=0\)で単調増加なので\(x\leq0\)で\(f_{j+1}\left(x\right)\leq0\)
またある\(k\)で\(f_{k}\left(x\right)\leq0\)ならば、
\begin{align*} f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =f_{k}\left(x\right)\\ & \leq0 \end{align*} となるので、\(f_{k+1}\left(0\right)=0\)で単調減少なので\(x\leq0\)で\(0\leq f_{k+1}\left(x\right)\)
これより、\(f_{0}\left(x\right)\leq0\)なので\(0\leq f_{1}\left(x\right)\)、\(0\leq f_{1}\left(x\right)\)なので\(f_{2}\left(x\right)\leq0\)となる。
\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、\(x\leq0\)のとき\(f_{2m}\left(x\right)\leq0\;,\;0\leq f_{2m+1}\left(x\right)\)である。
すなわち、
\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、
\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \] \(x\leq0\)かつ\(n\)が奇数のとき、
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \]
-
まとめると、\(0\leq x\)または\(n\)が奇数のとき
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \] \(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、
\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \]
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凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。
エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
単位分数とエジプト式分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}
\]