指数型不等式

指数型不等式

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。

\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \]

等号は\(x=0\)のときである。

これは\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、

\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \]

\(0\leq x\)または\(n\)が奇数のとき、

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \]

と同じである。

(0)

\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}-\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\sgn\left(x^{n+1}\right)\left(e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\right) \end{align*}

とおく。

\(0\leq f_{n}\left(x\right)\)となることを\(n\)についての帰納法により証明する。

\(n=0\)のとき

\begin{align*} f_{0}\left(x\right) & =\sgn\left(x\right)\left(e^{x}-1\right)\\ & \geq0 \end{align*}

\(n=k\)のとき\(0\leq f_{k}\left(x\right)\)が成り立つと仮定

\begin{align*} f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+2}\right)x^{k+1}\left(e^{x}-\sum_{j=0}^{k+1}\frac{x^{j}}{k!}\right)+\sgn\left(x^{k+2}\right)\left(e^{x}-\sum_{j=0}^{k}\frac{x^{j}}{k!}\right)\\ & =\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+1}\right)x^{k}\sgn\left(x^{k+1}\right)f_{k}\left(x\right)+\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right)\\ & =\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right)\left(1+\left(k+1\right)\delta\left(x^{k+1}\right)x^{k}\sgn\left(x^{k}\right)\right)\\ & =\sgn\left(x\right)f_{k}\left(x\right) \end{align*}

となるので\(0\leq x\)のとき\(f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right)\leq0\)、\(x\leq0\)のとき\(0\leq f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right)\)となる。

これより、\(f_{k+1}\left(x\right)\)の最小値は\(x=0\)のとき\(f_{k+1}\left(0\right)=0\)となるので\(0\leq f_{k+1}\left(x\right)\)となる。

故に\(0\leq f_{n}\left(x\right)\)が成り立つので、

\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \]

となる。

(0)-2

\(0\leq x\)のとき

\begin{align*} e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right|\\ & \geq0 \end{align*}

となるので\(0\leq x\)のとき、

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \]

が成り立つ。

等号は\(x=0\)のときである。

\(x\leq0\)のとき、

\[ f_{n}\left(x\right)=e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \]

とおく。

\begin{align*} f_{0}\left(x\right) & =e^{x}-\sum_{k=0}^{0}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x}-1\\ & \leq0 \end{align*}

より、\(f_{0}\left(x\right)\leq0\)となる。

また、\(n\)の値によらず、\(f_{n}\left(0\right)=0\)となる。

ある\(j\)で\(0\leq f_{j}\left(x\right)\)ならば、

\begin{align*} f_{j+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =f_{j}\left(x\right)\\ & \geq0 \end{align*}

となるので、\(f_{j+1}\left(0\right)=0\)で単調増加なので\(x\leq0\)で\(f_{j+1}\left(x\right)\leq0\)

またある\(k\)で\(f_{k}\left(x\right)\leq0\)ならば、

\begin{align*} f_{k+1}^{\;\;\;\prime}\left(x\right) & =f_{k}\left(x\right)\\ & \leq0 \end{align*}

となるので、\(f_{k+1}\left(0\right)=0\)で単調減少なので\(x\leq0\)で\(0\leq f_{k+1}\left(x\right)\)

これより、\(f_{0}\left(x\right)\leq0\)なので\(0\leq f_{1}\left(x\right)\)、\(0\leq f_{1}\left(x\right)\)なので\(f_{2}\left(x\right)\leq0\)となる。

\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、\(x\leq0\)のとき\(f_{2m}\left(x\right)\leq0\;,\;0\leq f_{2m+1}\left(x\right)\)である。

すなわち、

\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、

\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \]

\(x\leq0\)かつ\(n\)が奇数のとき、

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \]

-

まとめると、

\(0\leq x\)または\(n\)が奇数のとき

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq e^{x} \]

\(x\leq0\)かつ\(n\)が偶数のとき、

\[ e^{x}\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \]

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指数型不等式

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