区分的に連続と区分的に滑らかの定義
区分的に連続と区分的に滑らかの定義
区分的に連続と区分的に滑らかは次で定義される。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
区分的に連続と区分的に滑らかは次で定義される。
(1)区分的に連続
関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{0}\)級(\(f\left(x\right)\)が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
(2)区分的に滑らか
関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{1}\)級(導関数が存在し導関数が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)と\(f'\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
符号関数\(\sgn\left(x\right)\)、ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は区分的に連続であり、区分的に滑らかである。
\(\left|\sin x\right|\)は区分的に連続であるが、\(\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots\)と無限の点で導関数が不連続なので区分的に滑らかではない。
\(\left|\sin x\right|\)は区分的に連続であるが、\(\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots\)と無限の点で導関数が不連続なので区分的に滑らかではない。
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タイトル | 区分的に連続と区分的に滑らかの定義 |
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max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[
\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\
x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\
x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)
\end{cases}
\]
エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]