レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義
\[\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+1 & even\\-1 & odd\\0 & etc\end{cases}\]
[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解
$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$を因数分解せよ。
[2007年埼玉医科大学・数学]定積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\sqrt{3}\tan x}dx=?\]
直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}\]
直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\]
直交曲線座標での性質
\[h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
スケール因子・微小線素と単位基底ベクトル・ベクトルの成分同士の関係
\[\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
勾配の方向と方向微分
\[\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\]
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\]
ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義
\[\boldsymbol{\nabla}:=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}\]
アインシュタインの和の既約
合成関数の導関数・偏導関数
\[\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}\]
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i}\]
ハイパー調和数の性質
\[H_{n}^{\left(1\right)}=H_{n}\]
ハイパー調和数の定義
\[H_{n}^{\left(r\right)}:=\begin{cases}\frac{1}{n} & r=0\\\sum_{k=1}^{n}H_{k}^{\left(r-1\right)} & r\in\mathbb{N}\end{cases}\]
可算集合と無限集合の濃度
無限濃度で最小の濃度は可算集合の濃度である。
全順序集合での順序写像・順序単射と全単射
写像の標準分解
\[f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y\]
連続関数の和・積・商
連続関数同士の合成関数は連続
\[\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right)\]
クロネッカーのデルタを含む総和
\[\sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj}\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)\]