勾配の方向と方向微分
勾配の方向と方向微分
方向微分の定義と性質は次のようになる。
\begin{align*} \nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right): & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\boldsymbol{v}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h}\\ & =\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \end{align*} となる。
後の式は\(f\)が\(\boldsymbol{r}\)において微分可能であるときに成り立つ。
方向微分は\(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f,\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right),\frac{\partial f\left(\boldsymbol{r}\right)}{\partial\boldsymbol{v}},D_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right)\)などで表される。
また、\(\boldsymbol{v}\)方向の単位ベクトルに対しての方向微分、
\begin{align*} \nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right) & :=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\boldsymbol{v}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h\left|\boldsymbol{v}\right|}\\ & =\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \end{align*} で定義されることもある。
\(\boldsymbol{n}\)を単位法線ベクトルにとると、
\[ \left|\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{n}}\right|=\left|\nabla f\left(\boldsymbol{r}\right)\right| \] となる。
方向微分の定義と性質は次のようになる。
(1)方向微分の定義
全微分可能なスカラー場\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の\(\boldsymbol{v}=v_{i}\boldsymbol{e}_{i}\)方向への微分を方向微分といい、\begin{align*} \nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right): & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\boldsymbol{v}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h}\\ & =\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \end{align*} となる。
後の式は\(f\)が\(\boldsymbol{r}\)において微分可能であるときに成り立つ。
方向微分は\(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f,\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right),\frac{\partial f\left(\boldsymbol{r}\right)}{\partial\boldsymbol{v}},D_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right)\)などで表される。
また、\(\boldsymbol{v}\)方向の単位ベクトルに対しての方向微分、
\begin{align*} \nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right) & :=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\boldsymbol{v}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h\left|\boldsymbol{v}\right|}\\ & =\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \end{align*} で定義されることもある。
(2)勾配の方向
スカラー場\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の勾配の方向は\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の変化が最も大きい方向となる。(3)方向微分と等位線
\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の等位線(等高線)と\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の勾配\(\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\)は垂直である。(4)法線微分
ある曲面\(f\left(\boldsymbol{r}\right)=C\)における法線方向の\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の方向微分を法線微分といい、法線方向を\(\boldsymbol{n}\)とすると\(\frac{\partial f}{\partial n}\)などで表わされる。\(\boldsymbol{n}\)を単位法線ベクトルにとると、
\[ \left|\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{n}}\right|=\left|\nabla f\left(\boldsymbol{r}\right)\right| \] となる。
\(f\left(\boldsymbol{r}\right)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\)とするとき、\(\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\)方向への方向微分は、
\begin{align*} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right) & =\left(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ & =\left(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right)\cdot\left(2x\boldsymbol{i}+2y\boldsymbol{j}+2z\boldsymbol{k}\right)\\ & =2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \end{align*} となる。
また、\(\boldsymbol{r}\)方向の単位ベクトルに対する方向微分は、
\begin{align*} \frac{\boldsymbol{r}}{\left|r\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right) & =\frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{\left|x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ & =\frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot\left(2x\boldsymbol{i}+2y\boldsymbol{j}+2z\boldsymbol{k}\right)\\ & =\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\ & =2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \end{align*} となる。
\begin{align*} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right) & =\left(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ & =\left(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right)\cdot\left(2x\boldsymbol{i}+2y\boldsymbol{j}+2z\boldsymbol{k}\right)\\ & =2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \end{align*} となる。
また、\(\boldsymbol{r}\)方向の単位ベクトルに対する方向微分は、
\begin{align*} \frac{\boldsymbol{r}}{\left|r\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right) & =\frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{\left|x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ & =\frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot\left(2x\boldsymbol{i}+2y\boldsymbol{j}+2z\boldsymbol{k}\right)\\ & =\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\ & =2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \end{align*} となる。
(1)
\(\boldsymbol{v}=v_{i}\boldsymbol{e}_{i}\)方向への方向微分は、\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\boldsymbol{v}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h\left|\boldsymbol{v}\right|} & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h\left|\boldsymbol{v}\right|}\left(f\left(\boldsymbol{r}\right)+\frac{\partial f\left(\boldsymbol{r}\right)}{\partial x_{i}}hv_{i}\boldsymbol{e}_{i}-f\left(\boldsymbol{r}\right)\right)\\ & =\frac{v_{i}\boldsymbol{e}_{i}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\frac{\partial f\left(\boldsymbol{r}\right)}{\partial x_{i}}\\ & =\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(2)
コーシー・シュワルツの不等式より、任意の\(\boldsymbol{v}\)に対し、\begin{align*} \left|\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\right| & \leq\left|\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\right|\left|\boldsymbol{\nabla}f\right|\\ & =\left|\boldsymbol{\nabla}f\right| \end{align*} となり、等号成立は\(\boldsymbol{\nabla}f=\pm\frac{\boldsymbol{v}}{\left|\boldsymbol{v}\right|}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{\nabla}f\)の方向は最も変化が大きい方向となる。
(3)
\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の等位線は\(f\left(\boldsymbol{r}\right)=C\)を満たす。この等位線上の曲線はパラーメータ\(u,v\)を用いて\(f\left(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)\right)=C\)となる。
両辺を\(u\)で偏微分すると、
\begin{align*} 0 & =\frac{\partial}{\partial u}f\left(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)\right)\\ & =\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\frac{\partial x_{i}}{\partial u}\\ & =\sum_{i,j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u}\right)\\ & =\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\boldsymbol{e}_{i}\cdot\sum_{j}\boldsymbol{e}_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u}\\ & =\boldsymbol{\nabla}f\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}\left(u,v\right)}{\partial u} \end{align*} となる。
同様に
\[ \boldsymbol{\nabla}f\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}\left(u,v\right)}{\partial v}=0 \] これより、\(\frac{\partial\boldsymbol{r}\left(u,v\right)}{\partial u},\frac{\partial\boldsymbol{r}\left(u,v\right)}{\partial v}\)は共に\(\boldsymbol{r}\)での等位線の接ベクトルであるので、勾配と等位線は垂直となる。
(3)-2
\(f\left(\boldsymbol{r}\right)\)の等位線は\(f\left(\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}\right)=f\left(\boldsymbol{r}\right)\)を満たす。\(\delta\boldsymbol{r}\)を十分小さくとると、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right) & =\left|\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\right|\frac{\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\\ & =\left|\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\right|\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\delta\boldsymbol{r}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h\left|\delta\boldsymbol{r}\right|}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\boldsymbol{r}+h\delta\boldsymbol{r}\right)-f\left(\boldsymbol{r}\right)}{h}\\ & =0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(4)
\begin{align*} \left|\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{n}}\right| & =\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right|\\ & =\left|\frac{\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)}{\left|\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right|}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right|\\ & =\frac{\left|\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right|^{2}}{\left|\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right|}\\ & =\left|\boldsymbol{\nabla}f\left(\boldsymbol{r}\right)\right| \end{align*} 法線方向はプラスとマイナスの2通りあるので左辺には絶対値が必要である。
ページ情報
| タイトル | 勾配の方向と方向微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/t4sdlf3a/ |
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ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義
\[
\boldsymbol{\nabla}:=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}
\]
直交曲線座標での性質
\[
h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}
\]
直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}
\]
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[
\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}
\]