リーマン・ゼータ関数の定義
リーマン・ゼータ関数の定義
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)を次で定義する。
\(s\in\mathbb{C}\)とする。
\[ \zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \] この関数は\(1<\Re\left(s\right)\)のときに収束し、解析接続をすると\(s\ne1\)で収束をする。
\(s=1\)のときは調和級数となり発散する。
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)を次で定義する。
\(s\in\mathbb{C}\)とする。
\[ \zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \] この関数は\(1<\Re\left(s\right)\)のときに収束し、解析接続をすると\(s\ne1\)で収束をする。
\(s=1\)のときは調和級数となり発散する。
リーマン・ゼータ関数の整数値一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline s & \zeta\left(s\right)\\ \hline 2 & \frac{\pi^{2}}{6}\\ \hline 4 & \frac{\pi^{4}}{90}\\ \hline 6 & \frac{\pi^{6}}{945}\\ \hline 8 & \frac{\pi^{8}}{9,450}\\ \hline 10 & \frac{\pi^{10}}{93,555}\\ \hline 12 & \frac{691\pi^{12}}{638,512,875}\\ \hline 14 & \frac{2\pi^{14}}{18,243,225}\\ \hline 16 & \frac{3,617\pi^{16}}{325,641,566,250}\\ \hline 18 & \frac{43,867\pi^{18}}{38,979,295,480,125}\\ \hline 20 & \frac{174,611\pi^{20}}{1,531,329,465,290,625}\\ \hline 22 & \frac{155,366\pi^{22}}{13,447,856,940,643,125}\\ \hline 24 & \frac{236,364,091\pi^{24}}{201,919,571,963,756,521,875}\\ \hline 26 & \frac{1,315,862\pi^{26}}{11,094,481,976,030,578,125}\\ \hline 28 & \frac{6,785,560,294\pi^{28}}{564,653,660,170,076,273,671,875}\\ \hline 30 & \frac{6,892,673,020,804\pi^{30}}{5,660,878,804,669,082,674,070,015,625} \\\hline \end{array} \] \[ \begin{array}{|c|c|} \hline s & \zeta\left(s\right)\\ \hline 0 & -\frac{1}{2}\\ \hline -1 & -\frac{1}{12}\\ \hline -2 & 0\\ \hline -3 & \frac{1}{120}\\ \hline -4 & 0\\ \hline -5 & -\frac{1}{252}\\ \hline -6 & 0\\ \hline -7 & \frac{1}{240}\\ \hline -8 & 0\\ \hline -9 & -\frac{1}{132}\\ \hline -10 & 0\\ \hline -11 & \frac{691}{32,760}\\ \hline -12 & 0\\ \hline -13 & -\frac{1}{12}\\ \hline -14 & 0\\ \hline -15 & \frac{3,617}{8,160}\\ \hline -16 & 0\\ \hline -17 & -\frac{43,867}{14,364}\\ \hline -18 & 0\\ \hline -19 & \frac{174,611}{6,600}\\ \hline -20 & 0\\ \hline -21 & -\frac{77,683}{276}\\ \hline -22 & 0\\ \hline -23 & \frac{236,364,091}{65,520}\\ \hline -24 & 0\\ \hline -25 & -\frac{657,931}{12}\\ \hline -26 & 0\\ \hline -27 & \frac{3,392,780,147}{3,480}\\ \hline -28 & 0\\ \hline -29 & -\frac{1,723,168,255,201}{85,932}\\ \hline -30 & 0 \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline s & \zeta\left(s\right)\\ \hline 2 & \frac{\pi^{2}}{6}\\ \hline 4 & \frac{\pi^{4}}{90}\\ \hline 6 & \frac{\pi^{6}}{945}\\ \hline 8 & \frac{\pi^{8}}{9,450}\\ \hline 10 & \frac{\pi^{10}}{93,555}\\ \hline 12 & \frac{691\pi^{12}}{638,512,875}\\ \hline 14 & \frac{2\pi^{14}}{18,243,225}\\ \hline 16 & \frac{3,617\pi^{16}}{325,641,566,250}\\ \hline 18 & \frac{43,867\pi^{18}}{38,979,295,480,125}\\ \hline 20 & \frac{174,611\pi^{20}}{1,531,329,465,290,625}\\ \hline 22 & \frac{155,366\pi^{22}}{13,447,856,940,643,125}\\ \hline 24 & \frac{236,364,091\pi^{24}}{201,919,571,963,756,521,875}\\ \hline 26 & \frac{1,315,862\pi^{26}}{11,094,481,976,030,578,125}\\ \hline 28 & \frac{6,785,560,294\pi^{28}}{564,653,660,170,076,273,671,875}\\ \hline 30 & \frac{6,892,673,020,804\pi^{30}}{5,660,878,804,669,082,674,070,015,625} \\\hline \end{array} \] \[ \begin{array}{|c|c|} \hline s & \zeta\left(s\right)\\ \hline 0 & -\frac{1}{2}\\ \hline -1 & -\frac{1}{12}\\ \hline -2 & 0\\ \hline -3 & \frac{1}{120}\\ \hline -4 & 0\\ \hline -5 & -\frac{1}{252}\\ \hline -6 & 0\\ \hline -7 & \frac{1}{240}\\ \hline -8 & 0\\ \hline -9 & -\frac{1}{132}\\ \hline -10 & 0\\ \hline -11 & \frac{691}{32,760}\\ \hline -12 & 0\\ \hline -13 & -\frac{1}{12}\\ \hline -14 & 0\\ \hline -15 & \frac{3,617}{8,160}\\ \hline -16 & 0\\ \hline -17 & -\frac{43,867}{14,364}\\ \hline -18 & 0\\ \hline -19 & \frac{174,611}{6,600}\\ \hline -20 & 0\\ \hline -21 & -\frac{77,683}{276}\\ \hline -22 & 0\\ \hline -23 & \frac{236,364,091}{65,520}\\ \hline -24 & 0\\ \hline -25 & -\frac{657,931}{12}\\ \hline -26 & 0\\ \hline -27 & \frac{3,392,780,147}{3,480}\\ \hline -28 & 0\\ \hline -29 & -\frac{1,723,168,255,201}{85,932}\\ \hline -30 & 0 \\\hline \end{array} \]
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/b5ju0f0p/ |
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ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[
\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)
\]