正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)\]
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0\]
合流型超幾何微分方程式の解
\[xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}\]
上昇階乗・下降階乗の微分と極限
\[\frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\} \]
[2025年京都大学・数学第1問]簡単な定積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx=?\]
写像12相
n個のボールをk個の箱に入れる場合の数の一覧表。
空箱ありと空箱なしとの関係
\[A\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}B\left(n,j\right)\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\0 & k<a-b+c\end{cases}\]
ベル数の簡単な値
\[B\left(n,0\right)=\delta_{0,n}\]
ベル数の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1}\]
ベル数の漸化式
\[B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right)\]
ベル数の定義
\[B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right)\]
xDの冪乗の性質
\[\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\]
冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)\]
微分演算子とスターリング数
\[x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\]
最大個数制限付きの分割数の漸化式
\[p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right)\]
分割数の簡単な値
\[p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \]