ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義
ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンを次で定義する。
\(x,y,z\)の直交座標\(\mathbb{R}^{3}\)上で\(x,y,z\)方向の単位ベクトルを\(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\)とする。
また、\(x,y,z\)を\(x_{1},x_{2},x_{3}\)として\(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\)を\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\)や\(\boldsymbol{e}_{x},\boldsymbol{e}_{y},\boldsymbol{e}_{z}\)でも表す。

(1)ナブラ演算子

ナブラ演算子を
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla} & :=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}\\ & =\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z} \end{align*} で定義する。

(2)勾配

スカラー場\(f\left(x,y,z\right)\)が偏微分可能であるとき、
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}f\left(x,y,z\right) & =\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}f\left(x,y,z\right)\\ & =\left(\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)f\left(x,y,z\right) \end{align*} を勾配と定義する。
また、勾配は\(\mathrm{grad}f\left(x,y,z\right)\)でも表される。

(3)発散

ベクトル場\(\boldsymbol{A}=A_{i}e_{i}\)が偏微分可能であるとき、
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} & =\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}\cdot A_{j}\boldsymbol{e}_{j}\\ & =\boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{j}\partial_{i}A_{j}\\ & =\delta_{i,j}\partial_{i}A_{j}\\ & =\partial_{i}A_{i}\\ & =\frac{\partial}{\partial x}A_{x}+\frac{\partial}{\partial y}A_{y}+\frac{\partial}{\partial z}A_{z} \end{align*} を発散と定義する。
また、発散は\(\mathrm{div\boldsymbol{A}}\)でも表される。

(4)回転

ベクトル場\(\boldsymbol{A}=A_{i}\boldsymbol{e}_{i}=A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k}\)が偏微分可能であるとき、
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A} & =\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}\times A_{j}\boldsymbol{e}_{j}\\ & =\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}\partial_{i}A_{j}\\ & =\epsilon_{ijk}\boldsymbol{e}_{k}\partial_{i}A_{j}\\ & =\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{array}\right|\\ & =\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right)\boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)\boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\boldsymbol{k} \end{align*} を回転と定義する。
また、回転は\(\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)や\(\mathrm{curl}\boldsymbol{A}\)でも表される。

(5)ラプラシアン

ラプラシアンを
\begin{align*} \Delta & :=\partial_{i}\partial_{i}\\ & =\nabla\cdot\nabla\\ & =\nabla^{2}\\ & =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \end{align*} で定義する。
ラプラシアンはスカラー場にもベクトル場にも作用させることができる。