(1)

\(x,y\)の直交座標\(\mathbb{R}^{2}\)上で点\(\left(x_{0},y_{0}\right)\)を中心に含む面積\(\Delta x\Delta y\)の境界の正方形上でのベクトル場\(\boldsymbol{A}=A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}\)の線積分は、正方形上に沿って\(\oint A\cdot d\boldsymbol{r}\)となる。
この積分の点\(\left(x_{0},y_{0}\right)\)の上下の辺\(\left(x-\frac{\Delta x}{2},y-\frac{\Delta y}{2}\right)\rightarrow\left(x+\frac{\Delta x}{2},y-\frac{\Delta y}{2}\right),\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\frac{\Delta y}{2}\right)\rightarrow\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\frac{\Delta y}{2}\right)\)の積分については、
\begin{align*} A_{x}\left(x_{0},y_{0}-\frac{1}{2}\Delta y\right)\Delta x-A_{x}\left(x_{0},y_{0}+\frac{1}{2}\Delta y\right)\Delta x & =\left\{ A_{x}\left(x_{0},y_{0}-\frac{1}{2}\Delta y\right)-A_{x}\left(x_{0},y_{0}+\frac{1}{2}\Delta y\right)\right\} \Delta x\\ & =\left\{ A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)-\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}-\left(A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)+\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\right\} \Delta x\\ & =-\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\Delta x\Delta y \end{align*} 同様に点\(\left(x_{0},y_{0}\right)\)の左右の辺\(\left(x+\frac{\Delta x}{2},y-\frac{\Delta y}{2}\right)\rightarrow\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\frac{\Delta y}{2}\right),\left(x-\frac{\Delta x}{2},y+\frac{\Delta y}{2}\right)\rightarrow\left(x-\frac{\Delta x}{2},y-\frac{\Delta y}{2}\right)\)の積分については、
\[ A_{y}\left(x_{0}+\frac{1}{2}\Delta x,y_{0}\right)\Delta y-A_{y}\left(x_{0}-\frac{1}{2}\Delta x,y_{0}\right)\Delta y=\frac{\partial A_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial x}\Delta x\Delta y \] となるので合計で、
\begin{align*} -\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\Delta x\Delta y+\frac{\partial A_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial x}\Delta x\Delta y & =\left(\frac{\partial A_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y\\ & =\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)\cdot\boldsymbol{k}\Delta y\Delta z \end{align*} となる。
\(\mathbb{R}^{2}\)上で考えているが\(\mathbb{R}^{3}\)上の\(xy\)平面と考えると、これより、
\begin{align*} \oint A\cdot d\boldsymbol{r} & =\left(\frac{\partial A_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\partial y}\right)\Delta y\Delta z\\ & =\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)\cdot\boldsymbol{k}\Delta y\Delta z\\ & =\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)\cdot d\boldsymbol{S} \end{align*} となる。
ここで\(d\boldsymbol{S}\)は大きさは面積で方向は微小な閉曲線を右ネジの法則により向きを定めたベクトルである。
一般的に\(\mathbb{R}^{3}\)上の微小な閉曲線について、
\[ \oint A\cdot d\boldsymbol{r}=\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)\cdot d\boldsymbol{S} \] となる。
ベクトルの周回線積分は回転に微小な面積を掛けたもので表される。

微小な閉曲線についてこれが成り立っているので、一般の閉曲線については微小な閉曲線を足し合わせれば内側の積分は打ち消しあうので、
\[ \oint_{\partial S}A\cdot d\boldsymbol{r}=\iint_{S}\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)\cdot d\boldsymbol{S} \] となり与式が成り立つ。

(2)

\(x,y,z\)の直交座標\(\mathbb{R}^{3}\)上で点\(\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\)を中心に含む体積\(\Delta x\Delta y\Delta z\)の立方体からのベクトル場\(\boldsymbol{A}=A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k}\)の湧き出しは\(\oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\)となる。
ここで\(d\boldsymbol{S}\)は面素ベクトルで立方体の閉曲面について、大きさは面積で向きは面積に垂直な方向に外側にとった法線ベクトルである。
この積分の\(yz\)平面については
\begin{align*} A_{x}\left(x_{0}+\frac{1}{2}\Delta x,y_{0},z_{0}\right)\Delta y\Delta z-A_{x}\left(x_{0}-\frac{1}{2}\Delta x,y_{0},z_{0}\right)\Delta y\Delta z & =\left\{ A_{x}\left(x_{0}+\frac{1}{2}\Delta x,y_{0},z_{0}\right)-A_{x}\left(x_{0}-\frac{1}{2}\Delta x,y_{0},z_{0}\right)\right\} \Delta y\Delta z\\ & =\left\{ A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)+\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}-\left(A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)-\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\right\} \Delta y\Delta z\\ & =\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z \end{align*} 同様に\(zx\)平面については、
\[ \frac{\partial A_{y}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z \] 同様に\(xy\)平面については、
\[ \frac{\partial A_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z \] となるので合計で
\begin{align*} \frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z+\frac{\partial A_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z+\frac{\partial A_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z & =\left(\frac{\partial A_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial x}+\frac{\partial A_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial z}+\frac{\partial A_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{\partial z}\right)\Delta x\Delta y\Delta z\\ & =\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)\Delta x\Delta y\Delta z \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \oint_{\partial\left(\Delta x\Delta y\Delta z\right)}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S} & =\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)\Delta x\Delta y\Delta z\\ & =\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)dV \end{align*} となり、ベクトルの湧き出しは発散に微小な体積を掛けたもので表される。

微小な閉曲面についてこれが成り立っているので、一般の閉曲面については微小な閉曲面を足し合わせればできるので
\[ \oint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_{V}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)dV \] となり与式が成り立つ。