偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
領域\(D\)で関数\(f\left(x,y\right)\)の偏導関数\(f_{x},f_{y},f_{xy}\)が存在して\(f_{xy}\)が連続であるとき、2階偏微分の順序交換、すなわち
\[ \frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x} \] が成り立つ。
領域\(D\)で関数\(f\left(x,y\right)\)の偏導関数\(f_{x},f_{y},f_{xy}\)が存在して\(f_{xy}\)が連続であるとき、2階偏微分の順序交換、すなわち
\[ \frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x} \] が成り立つ。
\(C^{2}\)級であれば\(f_{x},f_{y},f_{xy}\)が存在して\(f_{xy}\)も連続であるので\(f_{xy}=f_{yx}\)が成り立つ。
\[ f\left(x,y\right)=\begin{cases} xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)\\ 0 & \left(x,y\right)=\left(0,0\right) \end{cases} \] は原点\(\left(0,0\right)\)で偏微分の順序交換ができない。
\(f_{xy}\left(0,0\right)\)を求める。
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f\left(0,y\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h,y\right)-f\left(0,y\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h,y\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot hy\frac{h^{2}-y^{2}}{h^{2}+y^{2}}\\ & =-y \end{align*} となるので\(f_{xy}\left(0,0\right)=-1\)となる。
次に\(f_{yx}\left(0,0\right)\)を求める。
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y}f\left(x,0\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x,h\right)-f\left(x,0\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x,h\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot xh\frac{x^{2}-h^{2}}{x^{2}+h^{2}}\\ & =x \end{align*} となるので\(f_{yx}\left(0,0\right)=1\)となる。
従って\(f_{xy}\left(0,0\right)=-1\ne1=f_{yx}\left(0,0\right)\)となるので原点\(\left(0,0\right)\)で偏微分の順序交換ができない。
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偏微分の順序交換が出来ない例\[ f\left(x,y\right)=\begin{cases} xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)\\ 0 & \left(x,y\right)=\left(0,0\right) \end{cases} \] は原点\(\left(0,0\right)\)で偏微分の順序交換ができない。
\(f_{xy}\left(0,0\right)\)を求める。
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f\left(0,y\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h,y\right)-f\left(0,y\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h,y\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot hy\frac{h^{2}-y^{2}}{h^{2}+y^{2}}\\ & =-y \end{align*} となるので\(f_{xy}\left(0,0\right)=-1\)となる。
次に\(f_{yx}\left(0,0\right)\)を求める。
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y}f\left(x,0\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x,h\right)-f\left(x,0\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x,h\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot xh\frac{x^{2}-h^{2}}{x^{2}+h^{2}}\\ & =x \end{align*} となるので\(f_{yx}\left(0,0\right)=1\)となる。
従って\(f_{xy}\left(0,0\right)=-1\ne1=f_{yx}\left(0,0\right)\)となるので原点\(\left(0,0\right)\)で偏微分の順序交換ができない。
\begin{align*}
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y} & =\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{1}{\Delta y}\frac{\partial}{\partial x}\left\{ f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right\} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x\Delta y}\left\{ \left(f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)-f\left(x+\Delta x,y\right)\right)-\left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\right\} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\lim_{\Delta y\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x\Delta y}\left\{ \left(f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y+\Delta y\right)\right)-\left(f\left(x+\Delta x,y\right)-f\left(x,y\right)\right)\right\} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}\frac{\partial}{\partial y}\left\{ f\left(x+\Delta x,y\right)-f\left(x,y\right)\right\} \\
& =\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\end{align*}
となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 偏微分の順序交換(シュワルツの定理) |
| URL | https://www.nomuramath.com/l464ff2q/ |
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偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[
df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i}
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
ベッセル関数のポアソン積分表示
\[
J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]