偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[ \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{m}}:=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m}+\Delta x_{m},\cdots,x_{n}\right)-f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] を偏導関数という。
偏導関数は\(\partial_{x}f,f_{x}\)などでも表される。
また、ある点\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)での偏導関数の値を偏微分係数といい、
\[ \frac{\partial f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+\Delta x_{m},\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] となる。
\[ df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i} \] を全微分という。
全微分のこの式は全微分可能であるときのみに意味があります。
\[ \frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+h,\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{h} \] が存在するとき、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であるという。
\[ f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)=A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}+\epsilon\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}} \] を満たす\(\epsilon\)が0に収束するとき、関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)は点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)で全微分可能であるという。
これは
\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] となる定数\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)が存在することと同値であり、全微分可能であるとき任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(j\ne i\rightarrow h_{j}=0\)として\(h_{i}\rightarrow0\)とすると\(A_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)となるので、
\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{1}}h_{1}+\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{2}}h_{2}+\cdots+\frac{\partial f\left(a\right)}{x_{n}}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] とも表されます。
また、領域\(D\)の各点において全微分可能であるとき、\(f\)は\(D\)で全微分可能であるという。
(1)偏微分
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、\[ \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{m}}:=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m}+\Delta x_{m},\cdots,x_{n}\right)-f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] を偏導関数という。
偏導関数は\(\partial_{x}f,f_{x}\)などでも表される。
また、ある点\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)での偏導関数の値を偏微分係数といい、
\[ \frac{\partial f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+\Delta x_{m},\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] となる。
(2)全微分
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、\[ df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i} \] を全微分という。
全微分のこの式は全微分可能であるときのみに意味があります。
(3)偏微分可能性
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、ある点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)について、任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\[ \frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+h,\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{h} \] が存在するとき、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であるという。
(4)全微分可能性
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)と点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)があり、ある定数\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)が存在し、\(a\)の微小変化を\(\left(h_{1},h_{2},\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)\)とすると、\[ f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)=A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}+\epsilon\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}} \] を満たす\(\epsilon\)が0に収束するとき、関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)は点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)で全微分可能であるという。
これは
\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] となる定数\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)が存在することと同値であり、全微分可能であるとき任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(j\ne i\rightarrow h_{j}=0\)として\(h_{i}\rightarrow0\)とすると\(A_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)となるので、
\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{1}}h_{1}+\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{2}}h_{2}+\cdots+\frac{\partial f\left(a\right)}{x_{n}}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] とも表されます。
また、領域\(D\)の各点において全微分可能であるとき、\(f\)は\(D\)で全微分可能であるという。
(1)
\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)を\(x_{m}\)について偏微分することは偏微分する変数以外は定数と考えたものである。(2)
全微分可能性の式で\(\epsilon\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}=\epsilon\left\Vert \left(h_{1},h_{2},\cdots,h_{n}\right)\right\Vert _{2}\)を\(\epsilon\left\Vert \left(h_{1},h_{2},\cdots,h_{n}\right)\right\Vert _{1}\)にすると、\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{1}}h_{1}+\frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{2}}h_{2}+\cdots+\frac{\partial f\left(a\right)}{x_{n}}h_{n}\right)}{\left\Vert \left(h_{1},h_{2},\cdots,h_{n}\right)\right\Vert _{1}}=0 \] となります。
(1)
\(f\left(x,y\right)=x^{2}+xy+y^{2}\)とすると、\[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=2x+y \] \[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}=x+2y \] \begin{align*} df & =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ & =\left(2x+y\right)dx+\left(x+2y\right)dy \end{align*}
(2)
\(f\left(x,y\right)=x^{2}+xy^{2}\)とすると、\[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=2x+y^{2} \] \[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}=2xy \] \begin{align*} df & =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ & =\left(2x+y^{2}\right)dx+2xydy \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義 |
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数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]