リーマン・ゼータ関数の微分の極限
\[\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n!\]
リーマン・ゼータ関数の定義
\[\zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)\]
ヘヴィサイド関数と符号
\[H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)\]
矩形関数の性質
\[\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\]
3角形関数の性質
\[\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)\]
のこぎり波の定義
\[f\left(x\right):=x\]
矩形波の定義
\[f\left(x\right):=\begin{cases}-1 & x<0\\0 & x=0\\1 & 0<x\end{cases}\]
矩形関数の定義
\[\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|\end{cases}\]
3角形関数の定義
\[\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\]
ディリクレ核の性質
\[\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\]
デルタ関数の色々な表現
\[\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk\]
デルタ関数の性質
\[\delta\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(x\right)\]
デルタ関数の定義
\[\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)\]
逆3角関数と逆双曲線関数の主値と2乗のルート
\[\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z\]
3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係
\[\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z\]
櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\]
櫛型関数の性質
\[\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)\]
櫛型関数の定義
\[\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}\]
交代順列とジグザグ数
\[\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}\]
オイラー多項式の微分表示
\[E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n}\]
(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\[E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}\]
オイラー多項式の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}\]