チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[
m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}
\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[
\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
オプション価格の2項1期間モデル
\[
C\left(0\right)=\frac{1}{r}\left(p_{u}C_{u}+p_{d}C_{d}\right)
\]
CAPMの証明
\[
\beta_{A}=\rho_{AM}\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{M}}
\]
トービンの分離定理の解説
\[
\sigma\left[w_{A}R_{A}+w_{B}R_{B}\right]\leq w_{A}\sigma_{A}+w_{B}\sigma_{B}
\]
割引配当による理論株価
\[
P=\frac{a}{r}
\]
早期権利行使は損
早期権利行使はせずにその権利を売るほうが得をする。
破産確率
\[
\begin{cases}
\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} & p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{b}{a+b} & p=\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
運用による資産推移
\[
x=\begin{cases}
\left(x_{0}+\frac{b}{\log a}\right)a^{t}-\frac{b}{\log a} & a\ne1\\
x_{0}+bt & a=1
\end{cases}
\]
秘書問題(最良選択問題)
1位の応募者を採用することを最優先する場合はどのような戦略をとれば良いか。
5次方程式ですが簡単に解けます
\[
z^{6}=\left(z-1\right)^{6}
\]
12を分解して因数分解できるかな
\[
z^{3}+z^{2}=12
\]
少しだけ難しい有理化問題
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}
\]
連続で2段上れないときには階段の上り方は何通りあるか？
1回で1段または2段上れるが連続で2段上ることができないとき何通りの上り方があるか。
階段の上り方は何通りあるか？
1回で1段または2段上れるとき何通りの上り方があるか。
整除関係と大小関係
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b
\]
整除関係の性質
\[
a\mid b\land b\mid a\leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|
\]
整除関係の基本的な値
\[
\forall a\in\mathbb{Z},\pm1\mid a
\]