ベクトル空間の基底の定義
ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。
生成される部分空間
\[W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}\]
1次従属・1次独立の基本性質
ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。
1次関係と1次独立と1次従属の定義
\[\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\]
部分ベクトル空間(線形部分空間)の定義と性質
\[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W\]
零ベクトル・逆ベクトルの性質
ベクトル空間の零ベクトルは一意的である。
ベクトル空間(線形空間)の定義
\[\boldsymbol{x}+\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)=\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+\boldsymbol{z}\]
ブロック対角行列の最小多項式
\[m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right)\]
ブロック対角行列の固有空間と広義固有空間
\[W\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W_{k}\left(\lambda\right)\]
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)\]
ブロック対角行列の逆行列
\[\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & O & \cdots & O\\O & A_{2,2} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}\end{array}\right)\]
対称ブロック分けのトーレス
\[\tr\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & O & \cdots & O\\O & A_{22} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{pp}\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{pp}^{k}\end{array}\right)\]
ブロック3角行列の行列式
\[\det\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & O & \cdots & O\\A_{1,2} & A_{2,2} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\A_{1,p} & A_{2,p} & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right)\]
2×2ブロック行列の逆行列
\[\left(\begin{array}{cc}A & B\\O & D\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\O & D^{-1}\end{array}\right)\]
2×2ブロック行列の行列式
\[\det\left(\begin{array}{cc}A & O\\C & D\end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)\]
2×2ブロック対称分けの積の分割
\[\left(\begin{array}{cc}A & B\\C & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I & O\\CA^{-1} & I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A & O\\O & D-CA^{-1}B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I & A^{-1}B\\O & I\end{array}\right)\]