トレースの性質
\[
\tr\left(AB\right)=\tr\left(BA\right)
\]
逆行列の性質
\[
\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
正則行列の性質
\[
\det\left(A\right)\ne0\Leftrightarrow\ker\left(A\right)=\boldsymbol{0}
\]
エルミート転置の性質
\[
\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}
\]
複素共役行列の性質
\[
\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}
\]
転置行列の性質
\[
\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}
\]
固有ベクトルの性質
異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立である。
固有値の性質
\[
\tr\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}
\]
行列の対角化可能性
\[
\text{対角化可能}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n
\]
固有空間の次元と幾何学的重複度
\[
\dim W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)
\]
線形包の定義
\[
\left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\}
\]
固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\ker\left(A-\lambda I\right)
\]
固有多項式・最小多項式の性質
固有多項式・最小多項式ともに固有値を代入すると0になる。
固有多項式と最小多項式の定義
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)
\]
対角行列の性質
\[
\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)
\]
べき等行列の性質
べき等行列はユニタリ行列で対角化が可能である。
べき零行列の性質
べき零行列$N$は正則ではない。
同次連立1次方程式の定義と性質
\[
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[
\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right)
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
クラメルの公式
\[
x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}
\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
e & f & g & h\\
i & j & k & l
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
i & j & k & l\\
e & f & g & h
\end{array}\right)
\]
余因子行列の性質
\[
\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)
\]
行列式の性質
\[
\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)
\]
行列式の基本性質
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
余因子展開と逆行列
\[
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A
\]
行列式・余因子行列・トレースの定義
\[
\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)}
\]