線形写像の合成と表現行列の積
線形写像の合成と表現行列の積
\(l\)次元ベクトル空間\(U\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{l}\right\} \)、\(m\)次元ベクトル空間\(V\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)、\(n\)次元ベクトル空間\(W\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)がある。
線形写像\(f:U\rightarrow V,g:V\rightarrow W\)があり、\(f,g\)の表現行列をそれぞれ\(A_{f},A_{g}\)とするとき合成写像\(g\circ f\)の表現行列\(A_{g\circ f}\)は
\[ A_{g\circ f}=A_{g}A_{f} \] となる。
\(l\)次元ベクトル空間\(U\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{l}\right\} \)、\(m\)次元ベクトル空間\(V\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)、\(n\)次元ベクトル空間\(W\)とその基底\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)がある。
線形写像\(f:U\rightarrow V,g:V\rightarrow W\)があり、\(f,g\)の表現行列をそれぞれ\(A_{f},A_{g}\)とするとき合成写像\(g\circ f\)の表現行列\(A_{g\circ f}\)は
\[ A_{g\circ f}=A_{g}A_{f} \] となる。
同型写像\(f:V\rightarrow W\)の表現行列が\(A_{f}\)のとき、逆写像\(f^{\bullet}\)の表現行列は\(A_{f^{\bullet}}=A_{f}^{-1}\)となる。
何故なら、写像の合成の表現行列は\(A_{f^{\bullet}\circ f}=A_{f^{\bullet}}A_{f}\)が成り立ち、\(A_{f^{\bullet}\circ f}=A_{\id}=I\)となるので\(I=A_{f^{\bullet}}A_{f}\)となり、これより\(A_{f}\)は正則となり\(A_{f^{\bullet}}=A_{f}^{-1}\)となるからである。
何故なら、写像の合成の表現行列は\(A_{f^{\bullet}\circ f}=A_{f^{\bullet}}A_{f}\)が成り立ち、\(A_{f^{\bullet}\circ f}=A_{\id}=I\)となるので\(I=A_{f^{\bullet}}A_{f}\)となり、これより\(A_{f}\)は正則となり\(A_{f^{\bullet}}=A_{f}^{-1}\)となるからである。
\begin{align*}
\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A_{g\circ f} & =\left(g\circ f\right)\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{l}\right)\\
& =\left(\left(g\circ f\right)\boldsymbol{u}_{1},\left(g\circ f\right)\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\left(g\circ f\right)\boldsymbol{u}_{l}\right)\\
& =g\left(f\left(\boldsymbol{u}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{u}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{u}_{l}\right)\right)\\
& =g\left(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)A_{f}\right)\\
& =\left(g\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)A_{f}\\
& =\left(g\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),g\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,g\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)A_{f}\\
& =\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A_{g}A_{f}
\end{align*}
となり、\(\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)\)は正則なので\(A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 線形写像の合成と表現行列の積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/nzijhz65/ |
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アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]