線形写像の核と像の定義と性質
線形写像の核と像の定義と性質
線形写像の核と像の定義
\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があるとする。
\[ \ker f=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;f\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{W}\right\} \] と定める。
\begin{align*} \im f & =\left\{ f\left(\boldsymbol{x}\right)\in W;\boldsymbol{x}\in V\right\} \\ & =f\left(V\right) \end{align*} と定める。
線形写像の核と像の性質
\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があるとする。
線形写像の核と像の定義
\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があるとする。
(1)核
線形写像\(f\)の核\(\ker f\)を\[ \ker f=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;f\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{W}\right\} \] と定める。
(2)像
線形写像\(f\)の像\(\im f\)を\begin{align*} \im f & =\left\{ f\left(\boldsymbol{x}\right)\in W;\boldsymbol{x}\in V\right\} \\ & =f\left(V\right) \end{align*} と定める。
線形写像の核と像の性質
\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があるとする。
(1)
\(\ker f\)は始域\(V\)の部分空間となる。(2)
\(\im f\)は終域\(W\)の部分空間となる。(1)
\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)であり\(f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\)より、\(\boldsymbol{0}_{V}\in\ker f\)であるので\(\ker f\)は零元\(\boldsymbol{0}_{V}\)を元にもつ。また、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\ker f,c\in K\)について、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\boldsymbol{0}_{V}+\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in\ker f\)となり和で閉じていて
\begin{align*} f\left(c\boldsymbol{x}\right) & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので\(c\boldsymbol{x}\in\ker f\)となりスカラー倍で閉じている。
従って、\(\ker f\)は零元・和・スカラー倍を満たすので部分空間となる。
故に題意は成り立つ。
(2)
\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)であり\(f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\)より、\(\boldsymbol{0}_{W}\in\im f\)であるので\(\im f\)は零元\(\boldsymbol{0}_{W}\)を元にもつ。また、任意の\(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\in\im f,c\in K\)について、ある元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in V\)が存在し、\(f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)=\boldsymbol{y}_{1},f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)=\boldsymbol{y}_{2}\)と表すことができ、
\begin{align*} \boldsymbol{y}_{1}+\boldsymbol{y}_{2} & =f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & \in\im f \end{align*} となるので、和で閉じていて
\begin{align*} c\boldsymbol{y}_{1} & =cf\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)\\ & =f\left(c\boldsymbol{x}_{1}\right)\\ & \in\im f \end{align*} となるので、スカラー倍で閉じている。
従って、\(\im f\)は零元・和・スカラー倍を満たすので部分空間となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 線形写像の核と像の定義と性質 |
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アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]