ベクトル空間の商写像

by nomura · 2026年4月3日

ベクトル空間の商写像
体$K$上のベクトル空間$V$とその部分空間$N\subseteq V$があり、写像を$f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N$とする。
この写像は線形写像かつ全射となり、商写像という。

商写像は自然な全射や標準全射ともいいます。

線形写像であることの証明

加法性については、任意の$x,y\in V$に対し、
\begin{align*} f\left(x+y\right) & =x+y+N\\ & =x+N+y+N\\ & =f\left(x\right)+f\left(y\right) \end{align*} となるので成り立つ。
斉1次性については、任意の$c\in K,x\in V$に対し、
\begin{align*} cf\left(x\right) & =c\left(x+N\right)\\ & =cx+N\\ & =f\left(cx\right) \end{align*} となるので成り立つ。
これらより、加法性・斉1次性を満たすので$f$は線形写像となる。