ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)について、\(V\)に\(n\)個の1次独立な元が存在するとき、\(V\)は無限次元であるという。
\(V\)が無限次元でないとき、\(V\)を有限次元という。
つまり、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(V\)に\(n\)個の1次独立な元が存在しないとき、\(V\)は有限次元であるという。
任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)について、\(V\)に\(n\)個の1次独立な元が存在するとき、\(V\)は無限次元であるという。
\(V\)が無限次元でないとき、\(V\)を有限次元という。
つまり、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(V\)に\(n\)個の1次独立な元が存在しないとき、\(V\)は有限次元であるという。
(1)
\(V\)の基底が有限個であるとき、\(V\)は有限次元となり、基底が無限個であるとき、\(V\)は無限次元になります。これを示す。
\(V\)の基底が有限個であるとき、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、基底は\(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\)と表すことができるが、\(n+1\)個の1次独立な元が存在しないので有限次元となる。
また、基底が無限個であるとき、基底は\(e_{1},e_{2},\cdots\)と表すことができ、任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)について、\(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\)は1次独立であるので\(V\)は無限次元になる。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/e56fuc9r/ |
| SNSボタン |
和空間・積集合の次元
\[
\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)
\]
ベクトル空間の次元の定義
ベクトルの基底と成分の変換
\[
\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P
\]
ベクトルの基底に関する成分
\[
\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right)
\]