連結成分・弧状連結成分は最大の連結部分集合・弧状連結部分集合
櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
\[\begin{cases}A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\} \end{cases}\]
局所連結・局所弧状連結の定義
連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
『差積の定義と性質』を更新しました。
位相空間での中間値の定理
弧状連結と連結の関係
弧状連結ならば連結。
『2項係数の総和』を更新しました。
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。
連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
連結・弧状連結な部分集合の連続写像による像は連結・弧状連結となる。
『収束列と閉集合・閉包・稠密との関係』を更新しました。
弧状連結の定義
連結であることと離散位相空間への連続写像による同値
位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
連結・非連結の別定義
非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。
連結と非連結の定義
\[\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset\]
ライプニッツ級数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4}\]