3色のカメレオン問題
3色のカメレオン問題
赤・緑・青の3色のカメレオンがいる。
このカメレオンは異なる色同士が2匹出会うともう1つの色になる。
赤が11匹、緑が13匹、青が15匹のとき全てのカメレオンが同じ色になることはあるでしょうか?
赤・緑・青の3色のカメレオンがいる。
このカメレオンは異なる色同士が2匹出会うともう1つの色になる。
赤が11匹、緑が13匹、青が15匹のとき全てのカメレオンが同じ色になることはあるでしょうか?
赤・緑・青のカメレオンをそれぞれ\(a,b,c\)匹として\(\left(a,b,c\right)\)で表す。
\(\left(a,b,c\right)\)の状態から1回色が変わると、\(\left(a+2,b-1,c-1\right),\left(a-1,b+2,c-1\right),\left(a-1,b-1,c+2\right)\)の3パターンとなる。
緑の青のカメレオンが出会い2匹が赤になったとき、\(\left(a,b,c\right)\)から\(\left(a',b',c'\right)=\left(a+2,b-1,c-1\right)\)になり、それぞれのカメレオンの色の差の変化は\(\left(a-b,b-c,c-a\right)-\left(a'-b',b'-c',c-a'\right)=\left(-3,0,0\right)\)と0か3しか変化しない。
赤と緑のカメレオンが出会った時も赤と青のカメレオンが出会ったときも同様である。
もし、全てのカメレオンが同じ色になったとすると\(\left(a-b,b-c,c-a\right)\)のうち1つの成分は0になる。
しかし、初期状態が\(\left(11,13,15\right)\)のとき\(\left(a-b,b-c,c-a\right)=\left(11-13,13-15,15-11\right)=\left(-2,-1,4\right)\)となり、これは0か3の変化だけでどの成分も0にはならない。
従って全てのカメレオンが同じ色にはなることはない。
\(\left(a,b,c\right)\)の状態から1回色が変わると、\(\left(a+2,b-1,c-1\right),\left(a-1,b+2,c-1\right),\left(a-1,b-1,c+2\right)\)の3パターンとなる。
緑の青のカメレオンが出会い2匹が赤になったとき、\(\left(a,b,c\right)\)から\(\left(a',b',c'\right)=\left(a+2,b-1,c-1\right)\)になり、それぞれのカメレオンの色の差の変化は\(\left(a-b,b-c,c-a\right)-\left(a'-b',b'-c',c-a'\right)=\left(-3,0,0\right)\)と0か3しか変化しない。
赤と緑のカメレオンが出会った時も赤と青のカメレオンが出会ったときも同様である。
もし、全てのカメレオンが同じ色になったとすると\(\left(a-b,b-c,c-a\right)\)のうち1つの成分は0になる。
しかし、初期状態が\(\left(11,13,15\right)\)のとき\(\left(a-b,b-c,c-a\right)=\left(11-13,13-15,15-11\right)=\left(-2,-1,4\right)\)となり、これは0か3の変化だけでどの成分も0にはならない。
従って全てのカメレオンが同じ色にはなることはない。
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タイトル | 3色のカメレオン問題 |
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