第1種・第2種スターリング数の性質
第1種・第2種スターリング数の性質
第1種スターリング数と第2種スターリング数について以下が成り立つ。
第1種スターリング数の性質
第2種スターリング数の性質
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
第1種スターリング数と第2種スターリング数について以下が成り立つ。
第1種スターリング数の性質
(1)
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n! \](2)
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}2^{k}S_{1}\left(n,k\right)=\left(n+1\right)! \](3)
\[ \sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)=\delta_{0n}+\delta_{1n} \]第2種スターリング数の性質
(4)
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!S_{2}\left(n,k\right)=-\delta_{1n} \](5)
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}k!S_{2}\left(n,k\right)=1 \](6)
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}\left(k-1\right)!S_{2}\left(n,k\right)=2^{n} \]-
\(S_{1}\left(n,k\right)\)は第1種スターリング数\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) & =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)\left(-1\right)^{k}\\ & =\left(-1\right)^{n}P\left(-1,n\right)\\ & =Q\left(1,n\right)\\ & =n! \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}2^{k}S_{1}\left(n,k\right) & =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)\left(-2\right)^{k}\\ & =\left(-1\right)^{n}P\left(-2,n\right)\\ & =Q\left(2,n\right)\\ & =\left(n+1\right)! \end{align*}(3)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right) & =\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)1^{k}\\ & =P\left(1,n\right)\\ & =\delta_{1,n}+\delta_{0,n} \end{align*}(4)
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!S_{2}\left(n,k\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!\left\{ S_{2}\left(n-1,k-1\right)+kS_{2}\left(n-1,k\right)\right\} \\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!S_{2}\left(n-1,k-1\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}k!S_{2}\left(n-1,k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k+1}k!S_{2}\left(n-1,k\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}k!S_{2}\left(n-1,k\right)\\ & =\left[\left(-1\right)^{k+1}k!S_{2}\left(n-1,k\right)\right]_{k=n}^{k=0}\\ & =\left(-1\right)0!S_{2}\left(n-1,0\right)-\left(-1\right)^{n+1}n!S_{2}\left(n-1,n\right)\\ & =-S_{2}\left(n-1,0\right)\\ & =-\delta_{1n} \end{align*}(5)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}k!S_{2}\left(n,k\right) & =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{n}P(-1,k)S_{2}\left(n,k\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left(-1\right)^{n}\\ & =1 \end{align*}(6)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}\left(k-1\right)!S_{2}\left(n,k\right) & =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{n}P\left(-2,k\right)S_{2}\left(n,k\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left(-2\right)^{n}\\ & =2^{n} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種スターリング数の性質 |
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スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]
第1種スターリング数の符号
\[
\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)
\]
第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[
P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]