スターリング数の逆行列
スターリング数の逆行列
第1種スターリング数と第2種スターリング数の積について以下が成り立つ。
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
第1種スターリング数と第2種スターリング数の積について以下が成り立つ。
(1)
\begin{align*} \delta_{nj} & =\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{k=j}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \delta_{nj} & =\sum_{k=0}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{k=j}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right) \end{align*}-
\(S_{1}\left(n,k\right)\)は第1種スターリング数\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
第1種スターリング数と第2種スターリング数は互いに逆行列のような関係にある。
(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}S_{1}\left(2,k\right)S_{2}\left(k,2\right) & =\sum_{k=2}^{2}S_{1}\left(2,k\right)S_{2}\left(k,2\right)\\ & =S_{1}\left(2,2\right)S_{2}\left(2,2\right)\\ & =1\cdot1\\ & =1 \end{align*}(2)
\[ \sum_{k=0}^{2}S_{1}\left(2,k\right)S_{2}\left(k,3\right)=0 \](3)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}S_{2}\left(2,k\right)S_{1}\left(k,2\right) & =\sum_{k=2}^{2}S_{2}\left(2,k\right)S_{1}\left(k,2\right)\\ & =S_{2}\left(2,2\right)S_{1}\left(2,2\right)\\ & =1\cdot1\\ & =1 \end{align*}(4)
\[ \sum_{k=0}^{2}S_{2}\left(2,k\right)S_{1}\left(k,3\right)=0 \](1)
\begin{align*} P\left(x,n\right) & =\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(k,j\right)P\left(x,j\right)\\ & =\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)P\left(x,j\right)\\ & =\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)P\left(x,j\right) \end{align*} これより、\begin{align*} \delta_{nj} & =\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{k=j}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} x^{n} & =\sum_{k=0}^{n}S_{2}\left(n,k\right)P\left(x,k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}S_{2}\left(n,k\right)\sum_{j=0}^{k}S_{1}\left(k,j\right)x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)x^{j}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)x^{j}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)x^{j} \end{align*} これより、\begin{align*} \delta_{nj} & =\sum_{k=0}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{k=j}^{n}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | スターリング数の逆行列 |
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第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]
スターリング数の母関数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}
\]
スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]