誕生日問題

\(n\)人の誕生日が全て異なる確率\(P_{1}\left(n\right)\)は
\begin{align*} P_{1}\left(n\right) & =\prod_{k=1}^{n}\frac{365-k+1}{365}\\ & =\frac{1}{365^{n}}\prod_{k=1}^{n}\left(366-k\right)\\ & =\frac{1}{365^{n}}\prod_{k=0}^{n-1}\left(365-k\right)\\ & =\frac{P\left(365,n\right)}{365^{n}} \end{align*} \(n\)人いるときに同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる確率\(P_{2}\left(n\right)\)は\(P_{1}\left(n\right)\)の余事象なので、
\begin{align*} P_{2}\left(n\right) & =1-P_{1}\left(n\right)\\ & =1-\frac{P\left(365,n\right)}{365^{n}} \end{align*} となる。
これより、
\[ \frac{1}{2}<1-\frac{P\left(365,n\right)}{365^{n}} \] となる最小の\(n\)を求めると、\(P_{2}\left(n\right)\)は\(n\in\mathbb{N}_{0}\)で単調増加なので、\(P_{2}\left(22\right)\fallingdotseq0.476,P_{2}\left(23\right)\fallingdotseq0.507\)より、\(n=23\)となる。