ヘヴィサイド関数と符号
ヘヴィサイド関数と符号
ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は次を満たす。
ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は次を満たす。
(1)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) \](2)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(-x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) \](3)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \](4)
\[ H_{c}\left(\pm x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(\pm x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \](1)
\begin{align*} H_{c}\left(x\right)f\left(x\right) & =\begin{cases} H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) & 0<x\\ H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) & x<0 \end{cases}\\ & =H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} H_{c}\left(x\right)f\left(-x\right) & =\begin{cases} H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) & 0<x\\ H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) & x<0 \end{cases}\\ & =H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) \end{align*}(3)
(1)(2)より、\[ H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \] が成り立つ。
(4)
(3)より、\(H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)\)で\(x\rightarrow\pm x\)とすると、\[ H_{c}\left(\pm x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(\pm x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイド関数と符号 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hsna6lsm/ |
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ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
\[
H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x}
\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の関係
\[
H_{1}\left(x\right)=U\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の定義
\[
H_{a}\left(x\right)=\begin{cases}
0 & \left(x<0\right)\\
a & \left(x=0\right)\\
1 & \left(0<x\right)
\end{cases}
\]