3角形関数の性質
3角形関数の性質
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次の性質を満たす。
\(\mathrm{rect}\left(x\right)\)は矩形関数
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次の性質を満たす。
(1)
\[ \mathrm{tri}\left(-x\right)=\mathrm{tri}\left(x\right) \](2)
\[ \mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right) \]-
\(f\left(x\right)*_{x}\)g\(\left(x\right)\)は畳み込み積分\(\mathrm{rect}\left(x\right)\)は矩形関数
(1)
3角形関数は偶関数なので明らかに成り立つ。(2)
\begin{align*} \mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}\left(t\right)\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(t\right)\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(t-x\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\mathrm{rect}\left(t\right)dt\cmt{t-x\rightarrow t}\\ & =\int_{-\frac{1}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\left(H_{\frac{1}{2}}\left(t+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)dt\\ & =\left[\left(t+\frac{1}{2}\right)H_{\frac{1}{2}}\left(t+\frac{1}{2}\right)-\left(t-\frac{1}{2}\right)H_{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]_{-\frac{\text{1}}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\\ & =\left(1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)-\left(-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left\{ \left(-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left(-1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-1-x\right)\right\} \\ & =\left(1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)+2xH_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left(1+x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-1-x\right)\\ & =\begin{cases} 1-x+2xH-\left(1+x\right) & x<-1\\ 1-x+2x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\mathrm{tri}\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の性質 |
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論理演算同士の関係
\begin{align*}
P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\
& \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)
\end{align*}
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
隣接関係の定義
\[
\forall x,y\in X,x\nsim x\land\left(x\sim y\rightarrow y\sim x\right)
\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[
\tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}
\]