3角形関数の定義
3角形関数の定義
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-1}^{1}\text{tri}\left(x\right)dx=1\)となります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| & =\begin{cases}
-\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & x<-1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & -1\leq x<0\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 0\leq x<1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
0 & x<-1\\
x+1 & -1\leq x<0\\
-x+1 & 0\leq x<1\\
0 & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\mathrm{tri}\left(x\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fo42rrdo/ |
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畳み込みの性質
\[
\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)
\]
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)
\]
階乗の多重階乗表示
\[
n!=\prod_{k=0}^{j-1}\left(n-k\right)!_{j}
\]