3角形関数の定義
3角形関数の定義
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-1}^{1}\text{tri}\left(x\right)dx=1\)となります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| & =\begin{cases}
-\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & x<-1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & -1\leq x<0\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 0\leq x<1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
0 & x<-1\\
x+1 & -1\leq x<0\\
-x+1 & 0\leq x<1\\
0 & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\mathrm{tri}\left(x\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fo42rrdo/ |
| SNSボタン |
直交補空間の性質
\[
\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}
\]
行列式と行・列の入れ替え
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
不変部分空間の定義と性質
\[
f\left(W\right)\subseteq W
\]
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
\[
V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\}
\]