3角形関数の定義
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-1}^{1}\text{tri}\left(x\right)dx=1\)となります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| & =\begin{cases}
-\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & x<-1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & -1\leq x<0\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 0\leq x<1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
0 & x<-1\\
x+1 & -1\leq x<0\\
-x+1 & 0\leq x<1\\
0 & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\mathrm{tri}\left(x\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fo42rrdo/ |
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「Aを満たすBが存在する」と「Aを満たすのは任意のBについてである」という表現
量化記号の説明部分の順番
論理演算と集合演算との関係
\[
a\in A\leftrightarrow a\in B\Leftrightarrow a\in\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cup B\right)^{c}
\]
クラスと真のクラスの定義と性質
\[
C=\left\{ X;X\text{は集合で}\psi\left(X\right)\text{を満たす}\right\}
\]