直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\]
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\]
ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
\[\text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間}\]
コーシー・シュワルツの不等式
\[\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \]
内積空間の定義
\[\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\]
ノルム空間ならば距離空間
\[d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \]
ノルム・半ノルムの性質
\[0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \]
ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f\]
双対基底の定義と性質
\[\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k}\]
双対空間の定義と性質
\[V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)\]
線形写像全体のなす集合の定義
\[\hom_{K}\left(V,W\right)\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W\]
ベクトル空間の準同型定理
\[V/\ker f\simeq\im f\]
ベクトル空間の商写像
\[f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N\]
商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\} \]
ベクトル空間での剰余集合での和集合・積集合・差集合・対称差の演算
\[\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\]
商集合と商類の性質
\[A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A\]
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
\[\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B\]