3角関数・双曲線関数の総和
\[\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)\]
[2016年京都大学・数学問2]シンプルな整数問題
$p,q$を素数として$p^{q}+q^{p}$が素数となる全ての値を求めよ。
[2025年東京理科大学理学部数学科]出題ミス
\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{2}{k^{2}+3k-2}=?\]
『3角関数と双曲線関数の加法定理』を更新しました。
未知数がルートの中にある方程式
\[\sqrt{z}+\sqrt{-z}=2,z=?\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}\]
3つの宝箱
3つの宝箱がありますが宝が入っているのは1つです。
嘘つきに騙せれないように玉の色を当てよう
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi\]
フーリエ変換の性質
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\]
フーリエ変換の定義による違い
\[\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)\]
フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\]
分母の2乗をどうするかな？
\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}dx=?\]
関数方程式の問題
\[f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)=x,f\left(x\right)=?\]
絶対値を含む不等式の範囲
\[a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0,-1<a,x=?\]
実フーリエ級数
\[f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx\]
複素フーリエ係数の関係
\[c_{-n}=\overline{c_{n}}\]
複素フーリエ級数
\[c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx\]
3角関数・指数関数の直交性
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}\]
畳み込みの性質
\[\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)\]
畳み込みの定義
\[\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt\]
『ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係』を更新しました。
4次式の点の軌跡
点$\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)$の軌跡