交代順列とジグザグ数
\[\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}\]
オイラー多項式の微分表示
\[E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n}\]
(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\[E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}\]
オイラー多項式の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}\]
(*)オイラー多項式の微分・積分
\[E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)\]
(*)オイラー多項式の総和
\[E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k}\]
オイラー多項式の性質
\[E_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(x\right)\]
(*)オイラー多項式の特殊値
\[E_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{E_{n}}{2^{n}}\]
オイラー多項式の定義
\[E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}\]
2項変換とオイラー数
\[a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}\]\[b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}\]
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[\begin{cases}T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}\end{cases}\]
オイラー数の総和
\[\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}\]
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
\[\cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k}\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}\]
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}\]
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
\[B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式の総和
\[\sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
\[B_{n}\left(0\right)=B_{n}\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}\]
ベルヌーイ多項式の定義
\[B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}\]
2項変換とベルヌーイ数
\[b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}\]
ベルヌーイ数の一般項
\[B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}\]