階乗を階乗で割ったら階乗になる

階乗を階乗で割ったら階乗になる
次の方程式を満たす自然数\(n\in\mathbb{N}\) を求めよ。
\[ \frac{10!}{6!}=n!,n=? \]
\(\frac{10!}{6!}\)には素数の7が含まれるので\(n\)は7以上ということがわかります。
\(\frac{10!}{6!}=7\cdot8\cdot9\cdot10\)を直接計算をすると大変なので素因数分解をして求めます。
\begin{align*} \frac{10!}{6!} & =7\cdot8\cdot9\cdot10\\ & =7\cdot2^{3}\cdot3^{2}\cdot2\cdot5\\ & =2^{4}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\\ & =2\cdot3\cdot2^{2}\cdot5\cdot2\cdot3\cdot7\\ & =1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\\ & =7! \end{align*} これより、\(n=7\)となる。
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階乗を階乗で割ったら階乗になる
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