12個の箱に2枚のコイン

コインが1枚入っている場合を考える。
各箱にコインが入っているときにどちらが勝ちになるかを次で表している。
Zは引き分けを表す。
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Z & X & X & X\\ \hline Y & Y & X & X\\ \hline Y & Y & Y & Z \\\hline \end{array} \] これより、XさんYさんともに勝つパターンは5パターンなので対等となる。
これらより、コインが1枚入っている場合は対等となる。
次にコインが2枚入っている場合を考える。
このときAにコインが入っている場合は11通りあり引き分けになり、AにコインがなくLにコインが入っている場合はXさんYさんともに勝つパターンは5パターンずつの10通りありそれは対等となる。
そしてAにもLにもコインが入ってない場合はXさんが勝つ箱に2枚入っているとXさんの勝ちで、Yさんが勝つ箱に2枚入っているとYさんの勝ちでそれぞれ\(C\left(5,2\right)=10\)通りあり2人で合計20通りとなる。
次にXさんが勝つ箱に1枚、Yさんが勝つ箱に1枚入っている場合は、Xさんは2,3,4,7,8番目に開ける箱にコインが入っていて、Yさんは2,3,5,6,9番目に開ける箱にコインが入っていて、先にコインを見つけた方が勝ちとなる。
Xさんが勝つにはXさんYさんが開ける箱の順番で表すと\(\left(2,3\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),\left(2,9\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right),\left(3,9\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right),\left(4,9\right),\left(7,9\right),\left(8,9\right)\)の12通りとなる。
Yさんが勝つにはYさんXさんが開ける箱の順番で表すと\(\left(2,3\right),\left(2,4\right),\left(2,7\right),\left(2,8\right),\left(3,4\right),\left(3,7\right),\left(3,8\right),\left(5,7\right),\left(5,8\right),\left(6,7\right),\left(6,8\right)\)の11通りとなる。
また引き分けは\(2,3\)番目に開ける箱に入っている場合なので2通りとなる。
これで合計\(11+10+20+12+11+2=66\)通りとなり12個の箱に2枚のコインが入っている場合の数は\(C\left(12,2\right)=66\)通りなので全て確認している。
従ってXさんが勝つには\(5+10+12=27\)通り、Yさんが勝つには\(5+10+11=26\)通り、引き分けは\(11+2=13\)通りとなるのでXさんのほうが有利である。