(1)

\[ \epsilon_{123}=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=1 \] であり、\(ijk\)のうち同じものが含まれているときは行列式の性質より\(\epsilon_{ijk}=0\)となる。
同じものが含まれていないときは、行列式の性質より列を入れ替えると符号が変わるので、偶置換なら\(\epsilon_{ijk}=+1\)、奇置換なら\(\epsilon_{ijk}=-1\)となる。
故に与式は成り立つ。

(2)

\[ \epsilon_{123}\epsilon_{123}=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=1 \] であり、\(ijk\)または\(lmn\)のうち同じものが含まれているときは行列式の性質より\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=0\)となる。
\(ijk\)に同じものが含まれていないときは、行列式の性質より行を入れ替えると符号が変わるので、偶置換なら\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=+1\)、奇置換なら\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=-1\)となる。
同様に\(lmn\)に同じものが含まれていないときは、行列式の性質より列を入れ替えると符号が変わるので、偶置換なら\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=+1\)、奇置換なら\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=-1\)となる。
故に与式は成り立つ。

(3)

(2)より、
\begin{align*} \sum_{k}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk} & =\sum_{k}\det\left(\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{ik}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jk}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kk} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k}\left(\delta_{kl}\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{im} & \delta_{ik}\\ \delta_{jm} & \delta_{jk} \end{array}\right)-\delta_{km}\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{ik}\\ \delta_{jl} & \delta_{jk} \end{array}\right)+\delta_{kk}\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{im} & \delta_{il}\\ \delta_{jm} & \delta_{jl} \end{array}\right)-\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)+3\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)\\ & =-\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)-\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)+3\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{im}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{array}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(4)

(3)より、
\begin{align*} \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ljk} & =\sum_{j}\det\left(\begin{array}{cc} \delta_{il} & \delta_{ij}\\ \delta_{jl} & \delta_{jj} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j}\left(\delta_{il}\delta_{jj}-\delta_{ij}\delta_{jl}\right)\\ & 3\delta_{il}-\delta_{il}\\ & =2\delta_{il} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(5)

(4)より、
\begin{align*} \sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} & =\sum_{i}2\delta_{ii}\\ & =6 \end{align*} となるので与式は成り立つ。