懐中電灯を使って橋渡り
ζ(2)のような総和
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+1}=?\]
鉛筆と消しゴムの値段
定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s\]
定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)\]
方べきの定理
\[\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[\angle BOA=2\angle BPA\]
面積ベクトルと角度の符号
\[\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}\]
連分数の収束子の奇偶性
\[\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}\]
連分数と最大公約数
\[\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1\]
無限連分数の収束条件
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\]
連分数の収束子と漸化式
\[\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}\]
(*)簡単な連分数展開
\[\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)\]
連分数の性質
\[\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]\]
連分数の定義
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}\]
n個のサイコロを振ったときの合計の確率
n人でじゃんけんをしてm人が勝つ確率
n人でじゃんけんをしてあいこの確率
[2025年京都大学・数学第2問]整数問題
$x,y,z\in\mathbb{N},N=9z^{2}=x^{6}+y^{4}$で表される自然数$N$の最小値。
[2023年藤田医科大学・数学問題2]ルートの中に逆数の定積分
\[\int_{1}^{3}\sqrt{\frac{4}{x}-1}dx=?\]
数列の極限での大小関係
\[a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)\]
不完全ベータ関数の性質
\[B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}\]
ベータ関数の特殊値
\[B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)\]
ベータ関数の対称性
\[B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)\]
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}\]