べき零行列の性質
べき零行列$N$は正則ではない。
同次連立1次方程式の定義と性質
\[A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\]
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}\end{array}\right)\]
(*)階数の性質
\[\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[\rank\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)=2\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
クラメルの公式
\[x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d\\e & f & g & h\\i & j & k & l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d\\i & j & k & l\\e & f & g & h\end{array}\right)\]
余因子行列の性質
\[\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)\]
行列式の性質
\[\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)\]
行列式の基本性質
\[\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\]
余因子展開と逆行列
\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A\]
行列式・余因子行列・トレースの定義
\[\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)}\]
置換行列の性質
\[P_{\tau}P_{\sigma}=P_{\tau\circ\sigma}\]
置換行列の定義
\[\left(P_{\sigma}\right)_{i,j}=\delta_{j,\sigma\left(i\right)}\]
vec作用素の性質
\[\mathrm{vec}\left(ABC\right)=\left(C^{T}\otimes A\right)\mathrm{vec}\left(B\right)\]
アダマール積の性質
\[A\odot B=B\odot A\]
クロネッカー積の性質
\[\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)=\left(AC\right)\otimes\left(BD\right)\]
行列の性質
一般的に$AB=BA$は成り立たない。
行列の相似・同値と相似変換の定義
\[B=P^{-1}AP\]
行列の指数関数の定義
\[\exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}\]
色々な行列の定義
\[M_{n}\left(K\right)\]
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
\[\left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}\]