行列の相似・同値と相似変換の定義
行列の相似・同値と相似変換の定義
行列の相似と相似変換を次で定義する。
相似であるとき、同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
\[ B=QAP \] となるとき、\(A\)と\(B\)は同値であるという。
同値であるとき、同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
行列の相似と相似変換を次で定義する。
(1)行列の相似
\(n\)次正方行列\(A,B\)があり、ある正則行列\(P\)が存在し、\(B=P^{-1}AP\)となるとき、\(A\)と\(B\)は相似であるといい\(A\sim B\)で表す。相似であるとき、同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
(2)相似変換
\(n\)次正方行列\(A\)があるとき、\(n\)次正則行列\(P\)を用いて\(P^{-1}AP\)に変換することを相似変換という。(3)行列の同値
\(m\times n\)行列\(A,B\)があり、\(n\)次正則正方行列\(P\)、\(m\)次正則正方行列\(Q\)により、\[ B=QAP \] となるとき、\(A\)と\(B\)は同値であるという。
同値であるとき、同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
相似変換をしても
・階数
・行列式
・トレース
・固有値
・固有多項式
・最小多項式
・単因子
が保たれます
行列\(A,B\)が\(B=QAP\)の関係にあり同値であるとする。
\(P,Q\)共に単位行列にとれば反射律を満たす。
\(P,Q\)共に正則行列なので\(A=Q^{-1}AP^{-1}\)とできるので対称律を満たす。
\(C=Q'BP'\)とすると\(C=\left(Q'Q\right)A\left(PP'\right)\)となり推移律を満たすので、同値関係となる。
行列が同値であるときの同値関係で、\(Q\)を\(P^{-1}\)にすればいい。
また、ユニタリ行列\(U_{1},U_{2}\)により同値となるとき、ユニタリ同値といい、置換行列\(P_{\sigma},P_{\tau}\)により同値となるとき、置換同値という。
・階数
・行列式
・トレース
・固有値
・固有多項式
・最小多項式
・単因子
が保たれます
-
行列が同値であるときの同値関係の証明行列\(A,B\)が\(B=QAP\)の関係にあり同値であるとする。
\(P,Q\)共に単位行列にとれば反射律を満たす。
\(P,Q\)共に正則行列なので\(A=Q^{-1}AP^{-1}\)とできるので対称律を満たす。
\(C=Q'BP'\)とすると\(C=\left(Q'Q\right)A\left(PP'\right)\)となり推移律を満たすので、同値関係となる。
-
行列が相似であるときの同値関係の証明行列が同値であるときの同値関係で、\(Q\)を\(P^{-1}\)にすればいい。
-
ユニタリ行列\(U\)により相似となるとき、ユニタリ相似といい、置換行列\(P_{\sigma}\)により相似となるとき、置換相似という。また、ユニタリ行列\(U_{1},U_{2}\)により同値となるとき、ユニタリ同値といい、置換行列\(P_{\sigma},P_{\tau}\)により同値となるとき、置換同値という。
(1)行列の相似
行列の相似の例\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{array}\right) \end{align*} となるので、
\[ \left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{array}\right) \] となる。
-
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \end{align*} \[ \left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \] となるので、(2)相似変換
相似変換の例行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right) \] を正則な行列
\[ P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] で変換すると、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{array}\right) \end{align*} となる。
-
相似変換の例行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right) \] を正則な行列
\[ P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right) \] で変換すると、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 行列の相似・同値と相似変換の定義 |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]