行列の指数関数の定義
行列の指数関数の定義
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
対角行列の指数関数は
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
行列の指数関数の例
(1)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\\ & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!} & 0\\ 0 & \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)^{k}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3e-2e^{2} & -2e+2e^{2}\\ 3e-3e^{2} & -2e+3e^{2} \end{array}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 行列の指数関数の定義 |
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連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[
\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right)
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]