行列の簡約化と階数(ランク)の定義
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
行列を簡約化した行列は一意的である。
どれも同値な定義である。
(1)行列の簡約化
行列があるとき、行基本変形をして簡約行列にすることを行列の簡約化という。行列を簡約化した行列は一意的である。
(2)行列の階数(ランク)の定義
行列の階数(ランク)は次で定義される。どれも同値な定義である。
(a)
行列を行基本変形をして簡約行列にしたときの主成分の個数(b)
列ベクトルの1次独立なベクトルの最大個数(c)
行ベクトルの1次独立なベクトルの最大個数(d)
線形写像での表現行列の像空間の次元(e)
行列の0でない小行列式の最大サイズ(f)
行列の特異値の数(1)
行列を簡約化すると次のようになる。\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 24\\ 0 & 1 & 0 & -26\\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right) \]
(2)
行列の階数は次のようになる。\[ \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=2 \] \[ \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=3 \] \begin{align*} \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right) & =\rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\\ & =3 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{array}\right) & =\rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 24\\ 0 & 1 & 0 & -26\\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right)\\ & =3 \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 行列の簡約化と階数(ランク)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/t47ixy3l/ |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]