離散関数

スターリング数

スターリング数の逆行列

\[\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\]
スターリング数

第2種スターリング数の一般解

\[S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}\]
スターリング数

スターリング数の組み合わせ解釈
スターリング数

(*)スターリング数の漸化式

\[S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)\]
スターリング数

第1種スターリング数の符号

\[\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\]
スターリング数

第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義

\[P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}\]
分割数

異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式

\[\sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)\]
分割数

分割数の定義と母関数

\[\sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}}\]
クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタの表示

\[\delta_{mn}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+m}}{(m-k)!(k-n)!}\]
クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタの性質

\[f(n)\delta_{mn}=f(m)\delta_{mn}\]