2項変換とベルヌーイ数
\[b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}\]
ベルヌーイ数の一般項
\[B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}\]
(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式
\[\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}\]
奇数ベルヌーイ数
\[B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}\]
ベルヌーイ数の定義
\[\frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}\]
フィボナッチ数の負整数での値
\[F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[\left(\begin{array}{cc}F_{n+1} & F_{n}\\F_{n} & F_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の総和
\[\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \]
フィボナッチ数列と2項係数
\[F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}\]
フィボナッチ数列の定義
\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\]
カタラン数の組み合わせ論的解釈
カタラン数の漸化式
\[C_{n+1}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n+2}C_{n}\]
カタラン数の別表現
\[C_{n}=\frac{1}{n+1}C\left(2n,n\right)\]
カタラン数の通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}x^{k}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\]
カタラン数の定義
\[C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}\]
クロネッカーのデルタの微分表示
\[\delta_{j,k}=\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}}x^{k}\right]_{x\rightarrow0}\]
(*)スターリング数と2項係数
\[C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k\]
スターリング数の母関数
\[\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}\]
スターリング数の解釈
\[\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}\]
スターリング数の簡単な値
\[S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}\]