異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式

異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式

(1)異分割

ある自然数を互いに異なる自然数に分割する組み合わせの個数を異分割(distinct partition)という。
異分割を\(P_{d}\left(n\right)\)として、\(P_{d}\left(0\right)=1\)とすると、

\[ \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right) \]

が成り立つ。

(2)奇分割

ある自然数を奇数に分割する組み合わせの個数を奇分割(odd partition)という。
異分割を\(P_{o}\left(n\right)\)として\(P_{o}\left(0\right)=1\)とすると、

\[ \sum_{k=0}^{\infty}P_{o}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{2k-1}} \]

が成り立つ。

(3)オイラーの分割恒等式

ある自然数の異分割と奇分割が等しいことを示す恒等式をオイラーの分割恒等式という。
すなわち、

\[ P_{d}\left(k\right)=P_{o}\left(k\right) \]

となる。

(1)

異分割は、

\[ P_{d}\left(k\right)=\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots} \]

であるので、

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots}z^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots}z^{1k_{1}+2k_{2}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots z^{1k_{1}+2k_{2}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{1}z^{k_{1}}\sum_{k_{2}=0}^{1}z^{2k_{2}}\cdots\\ & =\left(1+z\right)\left(1+z^{2}\right)\cdots\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right) \end{align*}

となる。

(2)

奇分割は、

\[ P_{d}\left(k\right)=\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots} \]

であるので、

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{o}\left(k\right)z^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots}z^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots}z^{1k_{1}+3k_{3}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots z^{1k_{1}+3k_{3}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{\infty}z^{k_{1}}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}z^{3k_{2}}\cdots\\ & =\left(\frac{1}{1-z}\right)\left(\frac{1}{1-z^{3}}\right)\cdots\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{2k-1}} \end{align*}

となる。

(3)

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k} & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1+z^{k}\right)\left(1-z^{k}\right)}{\left(1-z^{k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1-z^{2k}\right)}{\left(1-z^{k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1-z^{2k}\right)}{\left(1-z^{2k-1}\right)\left(1-z^{2k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{2k-1}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}P_{o}\left(k\right)z^{k} \end{align*}

となるので\(z\)の係数を比較して、\(P_{d}\left(k\right)=P_{o}\left(k\right)\)となる。

具体例

\(P_{d}\left(1\right)\)は\(\left(1\right)\)の1通り。
\(P_{o}\left(1\right)\)は\(\left(1\right)\)の1通り。
\(P_{d}\left(2\right)\)は\(\left(2\right)\)の1通り。
\(P_{o}\left(2\right)\)は\(\left(1,1\right)\)の1通り。
\(P_{d}\left(3\right)\)は\(\left(3\right),\left(2,1\right)\)の2通り。
\(P_{o}\left(3\right)\)は\(\left(3\right),\left(1,1,1\right)\)の2通り。
\(P_{d}\left(4\right)\)は\(\left(4\right),\left(3,1\right)\)の2通り。
\(P_{o}\left(4\right)\)は\(\left(3,1\right),\left(1,1,1,1\right)\)の2通り。
\(P_{d}\left(5\right)\)は\(\left(5\right),\left(4,1\right),\left(3,2\right)\)の3通り。
\(P_{o}\left(5\right)\)は\(\left(5\right),\left(3,1,1\right),\left(1,1,1,1,1\right)\)の3通り。

異分割と奇分割の一覧

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & P_{d}\left(n\right),P_{o}\left(n\right)\\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & 1\\ \hline 2 & 1\\ \hline 3 & 2\\ \hline 4 & 2\\ \hline 5 & 3\\ \hline 6 & 4\\ \hline 7 & 5\\ \hline 8 & 6\\ \hline 9 & 8\\ \hline 10 & 10\\ \hline 11 & 12\\ \hline 12 & 15\\ \hline 13 & 18\\ \hline 14 & 22\\ \hline 15 & 27\\ \hline 16 & 32\\ \hline 17 & 38\\ \hline 18 & 46\\ \hline 19 & 54\\ \hline 20 & 64\\ \hline 21 & 76\\ \hline 22 & 89\\ \hline 23 & 104\\ \hline 24 & 122\\ \hline 25 & 142\\ \hline 26 & 165\\ \hline 27 & 192\\ \hline 28 & 222\\ \hline 29 & 256\\ \hline 30 & 296 \\\hline \end{array} \]

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タイトル

異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式

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